\documentclass{article}
\pagestyle{empty}
%\usepackage{xgreek,graphicx}
\usepackage{polyglossia}
\setdefaultlanguage{english}
\setotherlanguage{greek}
\setotherlanguage{russian}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{unicode-math}


\RequirePackage{fontspec}
\RequirePackage{unicode-math}
\setmainfont[%
ItalicFont=NewCM10-BookItalic.otf,%
BoldFont=NewCM10-Bold.otf,%
BoldItalicFont=NewCM10-BoldItalic.otf,%
SmallCapsFeatures={Numbers=OldStyle}]{NewCM10-Book.otf}

\setsansfont[%
ItalicFont=NewCMSans10-BookOblique.otf,%
BoldFont=NewCMSans10-Bold.otf,%
BoldItalicFont=NewCMSans10-BoldOblique.otf,%
SmallCapsFeatures={Numbers=OldStyle}]{NewCMSans10-Book.otf}

\setmonofont[ItalicFont=NewCMMono10-BookItalic.otf,%
BoldFont=NewCMMono10-Bold.otf,%
BoldItalicFont=NewCMMono10-BoldOblique.otf,%
SmallCapsFeatures={Numbers=OldStyle}]{NewCMMono10-Book.otf}

\setmathfont{NewCMMath-Book.otf}

\newcommand{\tttextsc}[1]{{\ttscshape#1}}

\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{theoremg}[theorem]{Θεώρημα}
\newtheorem{theoremr}[theorem]{теорема}

\begin{document}

---A

\begin{theorem}[Dominated convergence of Lebesgue]
Assume that $g$ is an
in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and that
  $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able functions so that
  $|f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere
  then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$
\end{theorem}
\textsc{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma
we have that $\int(g-f)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|f|\leq g$ and
$|f_n|\leq g$ the  functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have
$$\int g-\int f\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$

\selectlanguage{greek}
\begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue]
  Έστω ότι
η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο
$E$ και η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε
$|f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$
ώστε η  $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να
τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremg}
\textsc{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από
το Λήμμα του Fatou ισχύει
$\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή
$|f| ≤ g$ και $|f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε
$$\int g −\int f ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$
άρα
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$

\selectlanguage{russian}
Thanks to Сергей Мартынов for the translation to Russian:
\begin{theoremr}
Предположим, что $g$ является
интегрируемой функцией, определенной на измеримом множестве $E$, и
$(f_n)_{n\in\mathbb N}$ представляет собой последовательность измеримой функции, так что
   $|f_n|\leq g$. Если $f$ является функцией, так что $f_n\to f$ почти везде,
   тогда
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremr}

\newpage


\selectlanguage{english}
\sffamily

\begin{theorem}[Dominated convergence of Lebesgue]
Assume that $g$ is an
in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and that
  $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able functions so that
  $|f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere
  then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$
\end{theorem}
\textsc{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma
we have that $\int(g-f)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|f|\leq g$ and
$|f_n|\leq g$ the  functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have
$$\int g-\int f\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$

\selectlanguage{greek}

\begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue]
  Έστω ότι
η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο
$E$ και η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε
$|f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$
ώστε η  $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να
τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremg}
\textsc{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από
το Λήμμα του Fatou ισχύει
$\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή
$|f| ≤ g$ και $|f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε
$$\int g −\int f ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$
άρα
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$

\selectlanguage{russian}

Thanks to Сергей Мартынов for the translation to Russian:
\begin{theoremr}
Предположим, что $g$ является
интегрируемой функцией, определенной на измеримом множестве $E$, и
$(f_n)_{n\in\mathbb N}$ представляет собой последовательность измеримой функции, так что
   $|f_n|\leq g$. Если $f$ является функцией, так что $f_n\to f$ почти везде,
   тогда
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremr}




\newpage


\selectlanguage{english}
\ttfamily

\begin{theorem}[Dominated convergence of Lebesgue]
Assume that $g$ is an
in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and that
  $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able functions so that
  $|f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere
  then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$
\end{theorem}
\textsc{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma
we have that $\int(g-f)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|f|\leq g$ and
$|f_n|\leq g$ the  functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have
$$\int g-\int f\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$


\selectlanguage{greek}

\begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue]
  Έστω ότι
η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο
$E$ και η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε
$|f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$
ώστε η  $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να
τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremg}
\textsc{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από
το Λήμμα του Fatou ισχύει
$\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή
$|f| ≤ g$ και $|f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε
$$\int g −\int f ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$
άρα
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$


\selectlanguage{russian}
Thanks to Сергей Мартынов for the translation to Russian:
\begin{theoremr}
Предположим, что $g$ является
интегрируемой функцией, определенной на измеримом множестве $E$, и
$(f_n)_{n\in\mathbb N}$ представляет собой последовательность измеримой функции, так что
   $|f_n|\leq g$. Если $f$ является функцией, так что $f_n\to f$ почти везде,
   тогда
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremr}


\end{document}