```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
work <- sample(seq(8,24,8),1)
prob <- sort(ddiscrete(runif(3)), decreasing=TRUE)
x    <- 0:2
E    <- sum(x*prob)
V    <- sum(x^2*prob)-E^2
h    <- matrix(prob, ncol=1, dimnames=list(x, "$P(X_k=x_i)$"))
htab <- html_matrix_sk(h, '$x_i$', fmt="%.1f")
Ey   <- 30*work*E
Vy   <- 30*work*V
Y    <- round(seq(Ey-3*sqrt(Vy), Ey+3*sqrt(Vy), 1))
repeat {
  Y1   <- sample(Y, 1)
  z    <- (Y1-Ey)/sqrt(Vy)
  sc   <- num_result(pnorm(z), 4)
  zt   <- c(floor(100*z), ceiling(100*z))/100
  pt   <- pnorm(zt)
  if (diff(pt)<sc$tolerance) break
}
 
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

In einer Fabrik werden jeden Tag (= $`r work`$ Arbeitsstunden) Kleingeräte hergestellt. Aus Erfahrung weiß  man, dass in der Fabrik pro Arbeitsstunde null, eins oder zwei Kleingeräte aussortiert werden müssen. Mehr als zwei fehlerhafte Geräte pro Arbeitsstunde gab es bisher nicht. Gehen Sie davon aus, dass das Auftreten von fehlerhaften Geräten in Bezug auf die Arbeitsstunden unabhängig ist.

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
cat(toHTMLorLatex(htab))
```

Sie betrachten  die Zufallsvariable $Y=$ ''Anzahl der fehlerhaften Geräte pro Monat (=30 Tage)'',  wobei $Y \approx N( `r Ey`; \sigma^2= `r Vy`)$. Wie groß  ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Monat weniger als $`r Y1`$ fehlerhafte Geräte gebaut werden?  `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

\begin{align*}
P(Y<`r Y1`) &= P(Z<\frac{`r Y1`-`r Ey`}{`r sqrt(Vy)`}) \\
& = P(Z<`r z`) = \Phi(`r z`) = `r sc$x[1]`\\
P(Z<`r zt[1]`) &= `r pt[1]`\\
P(Z<`r zt[2]`) &= `r pt[2]`\\
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: ../../statistik_i_ii/AARnw/st_schwIntervall_10_1c.Rmd
