```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
n <- sample(5:10, 1)
r <- runif(1, -0.9, 0.9)
f <- sample(1:9, 3)
lm1 <- lm1_data(r, nmax=n, xsos=sos100, 
                center=f[1]*c(10, f[3]*100), scale=f[2]*c(1,f[3]*10))
x <- lm1$xy[,1]
y <- lm1$xy[,2]
# make sure mean(x) and mean(y) can be rounded to one digit behind decimal point
#meanX <- 0.2*round(5*mean(x),0)
#meanY <- 0.2*round(5*mean(y),0)
#x[n] <- x[n]-n*(mean(x)-meanX)
#y[n] <- y[n]-n*(mean(y)-meanY)
meanX   <- mean(x)
meanY   <- mean(y) 
sumX2   <- sum((x-meanX)^2)
sumY2   <- sum((y-meanY)^2)
#sumXi   <- sum(x)
#sumYi   <- sum(y)
#sumYi2  <- sum(y^2)
#sumXiYi <- sum(x*y)
#sumXi2  <- sum(x^2)
s_x     <- sqrt(sumX2/n)
s_y     <- sqrt(sumY2/n)
r_xy    <- cor(x, y)
#part (a)
b_1  <- cor(x,y)*(s_y/s_x)
b_0  <- meanY-b_1*meanX
R2   <- r_xy^2
strp <- num2str(meanX, meanY, sumY2,  sumX2, b_0, b_1, r_xy, R2, s_x, s_y)
sc   <- num_result(R2, 3)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Betrachten Sie ein (einfaches) Regressionsmodell $y_i = b_0 + b_1 x_i + \hat{u}_i$, das die  üblichen Annahmen erfüllt. Auf Basis von $n= `r n`$ Datenpaaren sollen die Parameter des Modells geschätzt werden. Der Korrelationskoeffizient nach Bravais und Pearson für die beiden Variablen beträgt $r_{xy}= `r r_xy`$. Außerdem sind folgende Größen bekannt:

\begin{align*}
\sum_{i=1}^{ `r n`} (x_i - \bar{x})^2 &=  `r strp$sumX2`, \\
\sum_{i=1}^{ `r n`} (y_i - \bar{y})^2 &=  `r strp$sumY2`, \\
\bar{x}& = `r strp$meanX`,\\
\bar{y}&= `r strp$meanY`.
\end{align*}

Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß und interpretieren Sie es. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
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Wir wissen, das bei einer einfachen linearen Regression gilt:
$$ R_{xy}^2 = r_{xy}^2 = ( `r strp$r_xy`)^2 =  `r strp$R2` $$

Interpretation: $`r round(R2*100,2)`$% der Varianz von Y werden durch die lineare Abhängigkeit von X erklärt.

Meta-information
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extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: ../../statistik_i_ii/AARnw/lr_koef8_2b.Rmd
