```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
data  <- pprobability(0:2, sample=6)
hp    <- sapply(data$p, toLatex, variable="p")
h     <- matrix(math(hp), ncol=1, dimnames=list(0:2, "$P(X=x)$"))
htab  <- html_matrix_sk(h, '$x$', fmt="%s")
nsam  <- table(data$sample)
lsl   <- paste0(nsam, '\\cdot(', data$x, "-(", toLatex(data$ep, variable="p"), '))^2')
sc    <- num_result(data$LS$pest, digits=3)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Ein Bibliotheksbenutzer überzieht den Abgabetermin für seine Bücher manchmal bis zu `r max(data$x)` Wochen.  Die Lektüre eines spannenden Statistik-Buches motiviert ihn zur Aufstellung des folgenden Modells für die Überziehungszeiten $X$ (in Wochen): 

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
cat(toHTMLorLatex(htab))
```

Der Bibliothekbenutzer zieht eine Zufallsstichprobe vom Umfang $n=6$, d.h., er leiht sich 6 Bücher aus und registriert die jeweilige Überziehungszeit. Die Stichprobe ergibt folgende Zeiten: `r as_obs(data$sample, last=" und ")` Wochen. 

Bestimmen Sie mittels der Kleinsten-Quadrate-Methode $\hat{p}$ aus dieser Stichprobe. Auf die Prüfung der zweiten Ableitung darf verzichtet werden. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

\begin{align*}
E(X) &= \sum_{i=1}^k x_i \cdot f(x_i) \\
& = `r lsumprod(data$x, bracket(sapply(data$p, toLatex, variable="p")))`\\
&= `r toLatex(data$ep, variable="p")`\\
Q(p) &= \sum_{i=1}^n (x_i-E(X_i)^2 \\
&= `r lsum(bracket(lsl))`\\
&= `r lsum(bracket(sapply(data$LS$pi, toLatex, variable="p")))`\\
&= `r toLatex(data$LS$pf, variable="p")`\\
Q^\prime (p) &= `r toLatex(data$LS$dp, variable="p")`\\
\hat{p} &= `r sc$x[1]`
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: st_KQ_8_1c.Rmd
