```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
n  <- sample(4:8, 1)
sc <- int_result(factorial(n))
```

Question
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```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Nehmen Sie an, dass Sie die folgende  `r n` Felder mit  `r n` unterschiedlichen Farben färben sollen.

```{r xtable1, echo = FALSE, fig.cap='', crop=TRUE}
op <- par(mar = c(0,0,0,0))  
plot(c(1,n+1), c(0,1), type="n", asp=TRUE, axes=FALSE, xlab="", ylab="", main="", xlim=c(1,n+1), ylim=c(0,1), xaxs="i", yaxs="i")
for (i in 1:n) rect(i, 0, i+1, 1, border="black")
par(op)
```

Wie viele Möglichkeiten haben Sie dafür?

Solution
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Da alle `r n` Felder mit  `r n` Farben gefärbt sollen, handelt es sich um eine _Permutation_. Da alle  `r n` Farben unterschiedlich sind, liegt eine Permutation ohne gleiche Elemente vor. 

\begin{align*}
P(n)=P( `r n`) =  `r n`! = `r sc$x[1]`.
\end{align*}

Da man eine Permutation von $n=`r n`$ Elementen auch als eine _Auswahl_ von $k=`r n`$ aus $n=`r n`$ Elementen betrachten kann, wobei die _Reihenfolge wichtig_, aber eine _Wiederholung unmöglich_ ist, kann man die Anzahl der Möglichkeiten auch wie folgt bestimmen:

\begin{align*}
V(n,k)&=\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{n!}{0!}=n!=P(n), \\
V( `r n`, `r n`)&=\frac{ `r n`!}{( `r n`- `r n`)!}=\frac{ `r n`!}{0!}= `r n`!= `r sc$x[1]`.
\end{align*}
\vskip 0.5cm

Meta-information
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extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: KK-Permutation-3.Rmd
