<!--- lr_koef10_4b.Rnw --->

```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide", warning=FALSE}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
call <- exams2call()
### DATA GENERATION
library("magrittr")
n  <- sample(4:7, 1)
repeat {
  # create data set(s)  and additional information
  # break only if all conditions are fulfilled
  if (TRUE) break
}

points4 <- 10
#Variables
n <- sample(seq(10,30,5),1)
x <- sample(20:30,n,replace=TRUE)
y <- x+sample(1:4,n,replace=TRUE)
sumXi <- sum(x)
sumYi <- sum(y) 
sumYi2 <- sum(y^2) 
sumXiYi <- sum(x*y) 
sumXi2 <- sum(x^2) 
#part (c)
R2 <- round(((n*sumXiYi - sumXi*sumYi)^2)/((n*sumXi2 - (sumXi)^2)*(n*sumYi2 - (sumYi)^2)),2)
R2per <- R2*100
R2perN <- 100-R2per

## DATA PRESENTATION
sumXi_s <- toString(sum(x))
sumYi_s <- toString(sum(y)) 
sumYi2_s <- toString(sum(y^2)) 
sumXiYi_s <- toString(sum(x*y)) 
sumXi2_s <- toString(sum(x^2)) 
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Mit einer Stichprobe ($n= `r n`$) soll der lineare Zusammenhang zwischen
 zwei ökonomischen Variablen $X$ und $Y$ untersucht werden. Die Stichprobe
 ergibt folgende Kenngrößen:

$$ \sum_{i=1}^{`r n`} x_i = `r sumXi`; \quad \sum_{i=1}^{`r n`} x_i^2 = `r sumXi2_s`; \quad \sum_{i=1}^{`r n`} y_i = `r sumYi_s`;$$
$$\quad \sum_{i=1}^{`r n`} y_i^2 = `r sumYi2_s`; \quad \sum_{i=1}^{`r n`} x_i y_i = `r sumXiYi_s`$$

Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß.

Runden Sie Ihr Ergebnis auf 2 Stellen nach dem Komma. 

Solution
=========
\begin{align*}
    	R^2 &= \dfrac{ \left( `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i y_i - \sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i \cdot \sum\limits_{i=1}^{`r n`} y_i \right)^2 }{ \left[ `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i^2 - \left( \sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i \right) ^2 \right] \left[ `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{`r n`} y_i^2 - \left( \sum\limits_{i=1}^{`r n`} y_i \right) ^2 \right]} \\
			&= \dfrac{ \left( `r n` \cdot `r sumXiYi_s` - `r sumXi_s` \cdot `r sumYi_s` \right)^2 }{ \left[ `r n` \cdot `r sumXi2_s` - \left( `r sumXi_s` \right)^2 \right] \left[ `r n` \cdot `r sumYi2_s` - \left( `r sumYi_s` \right)^2 \right]} = `r R2` \\
			\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r round2(R2,2)`
extol: 0.02
exname: `r if(exists("story")) story else knitr::current_input()`
