```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
h  <- HairEyeColor[,,sample(2,1)]
rownames(h) <- c("Schwarz", "Braun", "Rot", "Blond")
colnames(h) <- c("Braun", "Blau", "Haselnuss", "Grün")
hmat  <- html_matrix_sk(h, 'Haarfarbe $\\setminus$ Augenfarbe', fmt=rep("%.0f", ncol(h)))
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

In einer Vorlesung wurde eine Untersuchung durchgeführt, bei der die Haar- und Augenfarben der anwesenden Studenten erfasst wurden. Die Erhebung hatte zum Ziel, die Verteilung dieser Merkmale zu analysieren und mögliche Zusammenhänge zwischen ihnen zu identifizieren. Hierbei wurden verschiedene Kombinationen von Haar- und Augenfarben berücksichtigt, um ein umfassendes Bild der Verteilung zu erhalten. Die gesammelten Daten wurden in einer Kreuztabelle dargestellt, die die Häufigkeiten der jeweiligen Kombinationen von Haar- und Augenfarben zeigt

```{r, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(hmat))
```

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Diese Tabelle dient als Grundlage für die weitere Analyse, bei der geprüft werden soll, ob die beiden Merkmale unabhängig voneinander sind. Welche Schritte sind erforderlich, um dies zu überprüfen?

Solution
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Folgende Möglichkeiten kennen wir:

1. Man berechnet die bedingte Verteilungen. Wenn alle bedingte Verteilungen identisch sind, dann sind die Variablen unabhängig.
2. Man multipliziert für alle Zellen der Kreuztabelle die Randhäufigkeiten und berechnet damit die erwarteten Häufigkeiten unter Unabhängigkeit.
Wenn alle beobachteten und erwarteten Häufigkeiten übereinstimmen, dann sind die Variablen unabhängig.
3. Man berechnet die quadratische Kontingenz $K^2$ oder einen der davon abgeleiteten Kontigenzkoeffizienten. Sind diese Koeffizienten gleich Null, dann sind die Variablen unabhängig.

Meta-information
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extype: string
exsolution: ''
exname: `r knitr::current_input()`
