```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
x <- 0:2
n <- length(x)
repeat {
  repeat {
    s <- rowSums(rmultinom(6, 1, runif(3)))
    if (all(s>0)) break
  }
  a  <- pprobability(x, power=0, sample=s)
  pa <- sapply(a$p, as.numeric)
  b  <- pprobability(x, power=0, sample=s)  
  pb <- sapply(b$p, as.numeric)  
  if (unique_max(c(a$ML$pf, b$ML$pf))) break
}
m <- cbind(pa, pb)
dimnames(m) <- list(0:2, c("Studie A", "Studie B"))
mtab <- html_matrix_sk(m, 'x', fmt=rep("%.1f", ncol(m))) 
nsam  <- table(a$sample)
lpa   <- paste0(nsam, '\\cdot \\log(', as.numeric(a$p), ')')
lpb   <- paste0(nsam, '\\cdot \\log(', as.numeric(b$p), ')')
sc    <- num_result(max(c(log(as.numeric(a$ML$pf)),  log(as.numeric(b$ML$pf)))), digits=3)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Sie interessieren sich für die Anzahl gekaufter Mobiltelefone pro Befragten innerhalb von fünf Jahren. Hierzu liegen Ihnen zwei Studien vor. Die Zufallsvariable $X_A$  bzw. $X_B$ sei die "Anzahl an gekauften Mobiltelefonen des $k$-ten Befragten innerhalb von fünf Jahren". Die Studien liefern folgende Wahrscheinlichkeitsfunktionen: 

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
cat(toHTMLorLatex(mtab))
```

Sie befragen nun $`r sum(s)`$ zufällig und voneinander unabhängig ausgewählte Personen. Ihre Befragung ergab folgende Beobachtungswerte $x_i$ :

`r as_obs(a$sample, last=" und ")`.

Geben Sie für die bessere Verteilung nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip den Wert der Log-Likelihoodfunktion an. Benutzen Sie den natürlichen Logarithmus. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

\begin{align*}
L_A &= \prod_{i=1}^{`r sum(s)`} P(X_A=x_i)\\
log(L_A) &=  \sum_{i=1}^{`r sum(s)`} \log(P(X_A=x_i))\\
&=`r lsum(lpa)` \\
&= `r fcvt(log(as.numeric(a$ML$pf)))`\\
L_B &=  \prod_{i=1}^{`r sum(s)`} P(X_B=x_i)\\
log(L_B) &=  \sum_{i=1}^{`r sum(s)`} \log(P(X_A=x_i))\\
&=`r lsum(lpb)` \\
&= `r fcvt(log(as.numeric(b$ML$pf)))`\\
\end{align*}



Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: st_ML_10_1a.Rmd
