```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
repeat {
  ab <- sample(-10:10, 2)
  b  <- ab[2]
  a  <- ab[1]
  if (b-a>2) break
}
sc <- num_result((a+b)/2, 4)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Die stetige Zufallsvariable $X$ habe die folgende Dichtefunktion:
\begin{align*}
f(x)&=
\begin{cases}
\frac{1}{ `r b-a`} & \textrm{für }   `r a` \leq x \leq  `r b` ,\\
0 & \textrm{sonst}
\end{cases}
\end{align*}
Berechnen Sie den Erwartungswert von $X$. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
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Es gilt also $X \sim U( `r a`, `r b`)$. Außerdem gilt die Formel:

\begin{align*}
E(X) &= \frac{ `r a` `r lsgn(b)`}{2} =  `r sc$x[1]`
\end{align*}

\textit{Alternativ:} Aus der Definition des Erwartungswerts folgt:

\begin{align*}
E(X)&= \int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx = \int_{`r a`}^{`r b`}x\frac{1}{`r b-a`} dx \\
&= \frac{x^2}{2}\frac{1}{`r b-a`}\bigl|_{`r a`}^{`r b`} \\ 
&= \frac{1}{`r 2*(b-a)`} (`r b^2`-`r a^2`) = `r sc$x[1]`
\end{align*}


Meta-information
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extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: Z-GVerteilung-3.Rmd
