```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
n <- sample(seq(10,30,5),1)
x <- sample(20:30,n,replace=TRUE)
y <- x+sample(1:2,n,replace=TRUE)
sumXi <- sum(x)
sumYi <- sum(y)
sumYi2 <- sum(y^2)
sumXiYi <- sum(x*y)
sumXi2 <- sum(x^2)
#part (a)
b_0 <- (sumYi*sumXi2 - sumXi*sumXiYi)/(n*sumXi2 - sumXi^2)
b_1 <- (n*sumXiYi - sumXi*sumYi)/(n*sumXi2 - sumXi^2)
strp   <- num2str(sumXi, sumYi, sumXiYi, sumXi2, sumYi2, b_0, b_1)
#part (a)
b01 <- runif(1)<0.5
sc <- num_result(if (b01) b_0 else b_1)             
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Mit einer Stichprobe ($n= `r n`$) soll der lineare Zusammenhang zwischen
zwei ökonomischen Variablen $X$ und $Y$ untersucht werden. Die Stichprobe
ergibt folgende Kenngrößen:
\begin{align*} &\sum_{i=1}^{ `r n`} x_i =  `r strp$sumXi`; \quad \sum_{i=1}^{ `r n`} x_i^2 =  `r strp$sumXi2`; \\
&\sum_{i=1}^{ `r n`} y_i =  `r strp$sumYi`; \quad \sum_{i=1}^{ `r n`} y_i^2 =  `r strp$sumYi2`; \quad \sum_{i=1}^{ `r n`} x_i y_i =  `r strp$sumXiYi`; \end{align*}
Schätzen Sie den Koeffizienten `r if(b01) "$b_0$" else "$b_1$"`.  `r round_de(sc$digits)`.

Solution
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$$b_0 = \frac{ \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} y_i \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i^2 - \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i y_i } {  `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i^2 - \left( \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i \right)^2 } = \frac{ `r sumYi` \cdot  `r strp$sumXi2` -  `r strp$sumXi` \cdot  `r strp$sumXiYi`}{ `r n` \cdot  `r strp$sumXi2` - \left( `r strp$sumXi`\right)^2} =  `r strp$b_0`$$
$$b_1 = \frac{ `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i y_i - \left( \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i \right) \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} y_i \right) }{ `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i^2 - \left( \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i \right)^2 } = \frac{ `r n` \cdot  `r strp$sumXiYi`- `r strp$sumXi` \cdot  `r strp$sumYi`}{ `r n` \cdot  `r strp$sumXi2` - \left( `r sumXi`\right)^2} =  `r strp$b_1`$$

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: lr_koef10_4a.Rmd
