<!--- Filename should be: topic_story_anwserformat.Rmd --->
<!--- st-ML-8-3b.Rnw -->
  
```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
ed <- exams:::.exams_get_internal("xexams_dir_exercises")
call <- exams2call()
## DATA GENERATION
x  <- 0:2
repeat {
  xi <- c(x, sample(x, size=sample(1:6, 1),replace=TRUE))
  n  <- table(xi)
  lp <- cbind(ddiscrete(runif(length(x))), ddiscrete(runif(length(x)))-ddiscrete(runif(length(x))))
  # colSums(lp) = c(1,0)
  ep <- x*lp
  ex <- colSums(ep)
  qp <- cbind(x-ex[1], -ex[2])
  # print(qp)
  qp <- cbind(qp[,1]^2, 2*qp[,1]*qp[,2], qp[,2]^2)
  qp <- qp*as.vector(n)
  qs <- colSums(qp)
  ph <- -qs[2]/(2*qs[3])
  # print(ph)
  pn <- ph*lp[,2]+lp[,1]
  if (all(pn>=0, pn<=1) && (abs(ex[2])>1e-3)) break
}
```

Question
========
  
```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Für ein Fußballspiel gibt es 0 Punkte für eine Mannschaft, wenn sie verliert. Einen Punkt gibt es bei
einem Unentschieden und zwei Punkte beim Gewinn des Spiels. Der Trainer weiß, dass für die Mannschaften das untenstehende Modell gelten soll:

```{r, results='asis', echo=FALSE}
PX <- ifelse(abs(lp[,2])<1e-3, sprintf("%.1f", lp[,1]), 
                         sprintf("%.1f%+.1f \\cdot p", lp[,1], lp[,2]))
m  <- cbind(x=math(as.character(x)), "P(X=x)"=math(PX))
rownames(m) <- rep("", nrow(m))
m  <- html_matrix_sk(m, "", fmt=c("%s", "%s"))
cat(toHTMLorLatex(m))
```
Konkret erhielt er dann folgende Stichprobe: `r as_string(xi, last=" und ")`. Bestimmen Sie für den Trainer den Kleinste-Quadrate-Schätzwert von $\hat{p}$ für diese Stichprobe. 

* Der Erwartungswert ist $E(X)=`r sprintf("%.1f%+.1f \\cdot p", ex[1], ex[2])`$ und 
* die quadratische Form $Q(p)=`r sprintf("%.2f%+.2f \\cdot p %+.2f \\cdot p^2", qs[1], qs[2], qs[3])`$.

Gehen Sie davon aus, dass die zweite Ableitung der Kleinste-Quadrate-Funktion $Q(p)$ nach $p$ 
an der Stelle von $\hat{p}$ positiv ist.
 
Runden Sie Ihr Ergebnis auf 4 Stellen nach dem Komma.

Solution
========
  
\begin{align*}
\frac{d\,Q(p)}{d\,p}                                 &= `r sprintf("%.2f%+.2f \\cdot p ", qs[2], 2*qs[3])` = 0\\
\hat{p}                                              &= `r round(ph, 4)`
\end{align*}

und es ergibt sich:

```{r, results='asis', echo=FALSE}
m  <- cbind(x=math(as.character(x)), "P(X=x)"=math(round(lp[,1]+ph*lp[,2], 4)))
rownames(m) <- rep("", nrow(m))
m  <- html_matrix_sk(m, "", fmt=c("%s", "%s"))
cat(toHTMLorLatex(m))
```

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r round2(ph,4)` 
extol: 0.001
exname: `r if(exists("story")) story else knitr::current_input()`
