<!--- Filename should be: topic_story_anwserformat.Rmd --->

```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
call <- exams2call()
### DATA GENERATION
alpha <- sample(c(0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2), 1)
n     <- sample(5:15, 1)
smean <- 80:160
ssig  <- 1:50
ski   <- sample(smean,1)
sigma <- sample(ssig,1)
a <- ski-sigma
b <- ski+sigma
X <- sample(seq(a,b,1),n,replace=TRUE)
#part a
xBar <- round(mean(X))
s2   <- var(X)
s2   <- round(s2)
s    <- round(sqrt(s2),2)
#part c
c    <- round(qt(1-alpha/2, n-1), 3)
v_u  <- xBar - c * sqrt(s2/n)
v_o  <- xBar + c * sqrt(s2/n)
dig  <- 1-floor(log10((c-qnorm(1-alpha/2))*sqrt(s2/n)))
sc   <- num_result(v_u, digits=dig, tolmult=1)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Bluthochdruck, gemessen in Millimeter Quecksilbersäule (mmHG), als Folge von Übergewicht ist ein häufiges Problem. 
Ein Arzt will einen neuen, billigeren Blutdrucksenker testen. Aus gesundheitlichen Gründen darf die Standardabweichung des systolischen Blutdrucks `r sigma` mmHG nicht überschreiten.

Es soll mittels einer statistischen Schätzung überprüft werden, ob sich eine Änderung des systolischen Blutdrucks durch das Medikament ergeben hat. Nehmen Sie an, dass der systolische Blutdruck eine $N(\mu, \sigma)$-verteilte Zufallsvariable ist. Anhand von Messungen von `r n`  Patienten, die mit dem Blutdrucksenker behandelt wurden, haben sich folgende Daten ergeben:

$\bar{x} = `r xBar`$ und $s^2 =  `r s2`$

Bestimmen Sie die untere Grenze des Schätzintervalls für $\mu$ bei einem 
Konfidenzniveau $1 - \alpha = `r  1-alpha`$.  `r round_de(sc$digits)`.

Solution
=========
Da die Varianz von $X_i$ unbekannt ist verwenden wir das Schätzintervall mit der $t$-Verteilung und $n-1$ Freiheitsgraden.
\begin{align*}
\left[v_u ; v_o\right] &= \left[\bar{x} - t_{1-\frac{\alpha}{2};f} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}; \bar{x} + t_{1-\frac{\alpha}{2};f} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\right] \qquad \text{, mit } f=n-1 = `r n-1` \\
\left[v_u ; v_o\right] &= \left[`r xBar` - `r c` \cdot \sqrt{\frac{`r s2`}{`r n`}}; `r xBar` + `r c` \cdot \sqrt{\frac{`r s2`}{`r n`}}\right] \\
&= [`r v_u`;`r v_o`]\\
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: `r knitr::current_input()`
