```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
n <- sample(seq(60,120,20),1)
#part b
X <- 0.05*n
nc <- n-X
#part c
cho <- choose(n,X)
sr  <- num2str(cho)
#part d
sc <- num_result(X/n, 4)
```

Question
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```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Ein Stromkreis in einem Fön hat eine Sicherung, die mit Wahrscheinlichkeit $p$ durchbrennt, wenn man ihn anschaltet. Bei der `r n` maligen Benutzung von Föns der gleichen Produktionslinie sind nun `r X` Ausfälle beobachtet worden. Bestimmen Sie einen Schätzwert $\hat{p}$ mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode. `r round_de(sc$digits)`. 

Gehen Sie davon aus, dass die zweite Ableitung der Likelihood-/Log-Likelihood-Funktion nach $p$ an der Stelle von $\hat{p}$ negativ ist. 

Solution
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\begin{align*}
l(p) &= \log(p^{ `r X`} \cdot (1-p)^{ `r n-X`})\\
&=  `r X` \cdot \log(p)+ `r n-X` \cdot \log(1-p)\\
\frac{\partial{l(p)}}{\partial{p}} &= \frac{ `r X`}{p}-\frac{ `r n-X`}{1-p} \stackrel{!}{=} 0 \\
\hat{p} &= \frac{ `r X`}{ `r n`} =  `r sc$x[1]`
\end{align*}

Meta-information
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extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: st_ML_8_1a.Rmd
