<!--- Filename should be: topic_story_anwserformat.Rmd --->

```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
call <- exams2call()
### DATA GENERATION
dens  <- pdensity(-5:5, size=2, power=0)
### DATA PRESENTATION
# create here all text representation for the exercises
xdens <- toLatex(dens$pcoeff, digits=FALSE)
ex2p  <- dens$pcoeff*monomial(2)
ex2q  <- integral(ex2p)
ex    <- dens$pint[2]
ex2   <- dens$pint[3]
vx    <- ex2-ex^2
#
strp <- num2str(ex, ex2, vx, a=dens$a, b=dens$b)
sc   <- num_result(vx, 3)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Gegeben sei die folgende Dichtefunktion für eine stetige Zufallsvariable $X$:

$$ f(x)=\begin{cases} `r xdens` & \text{ für } `r strp$a`\leq x\leq `r strp$b`\\
                      0 & \text{ sonst}\end{cases} 
                      $$
                      
Berechnen Sie die Varianz $Var(X)$, wenn Sie wissen, dass $E(X)=`r strp$ex`$ gilt. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
=========

Es gilt:

\begin{align*}
Var(X) &= E(X^2)- E^2(X)\\
E(X^2) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) \, dx = \int_{a}^{b} `r toString(ex2p, TRUE)` \, dx \\
       &= `r toLatex(ex2q, FALSE)` \bigg\vert_{a}^{b}
\end{align*}

Mit $a=`r strp$a`$, $b=`r strp$b`$ ergibt sich $E(X^2)=`r strp$ex2`$ und  $Var(X) = `r strp$ex2`-\left(`r strp$ex`\right)^2 =`r sc$x[1]`$.

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$x[1]`
extol: 0.02
exname: `r if(exists("story")) story else knitr::current_input()`
