```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
n        <- sample(c(100,200,300), 1)
werte_X1 <- c("gutes Wetter", "schlechtes Wetter")
werte_X2 <- c("schwach", "mittel", "stark")
X1  <- ddiscrete(runif(length(werte_X1)))
X2  <- ddiscrete(runif(length(werte_X2)))
r   <- sample(seq(0,1,by=0.05), 1)
expected <- n*ddiscrete2(X2, X1)
observed <- n*ddiscrete2(X2, X1, target = r)
residual <- (observed-expected)^2/expected
colnames(residual) <- colnames(expected) <- colnames(observed) <- werte_X1               
row.names(residual) <- row.names(expected) <- row.names(observed) <- werte_X2   
hobserved <- html_matrix_sk(observed, "Wind / Wetter", fmt=rep("%.0f", ncol(observed)))
hexpected <- html_matrix_sk(expected, "Erwartete Hfk.", fmt=rep("%.1f", ncol(expected)))
hresidual <- html_matrix_sk(residual, "Residuen", fmt=rep("%.3f", ncol(expected)))
k2 <- sum(residual)
ckoeff <- sqrt(k2/(n+k2))
sc <- num_result(ckoeff*sqrt(2), 3)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Ein Hobbymeteorologe hat sich die von ihm ermittelten Windstärken (Variable $X_2$) an Tagen mit gutem und schlechtem Wetter (Variable $X_1$) notiert. Es ergab sich die folgende Häufigkeitstabelle: 

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
cat(toHTMLorLatex(hobserved))
```

Berechnen Sie eine geeignete Maßzahl für die Stärke des Zusammenhangs zwischen $X_1$ und $X_2$. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

Da mindestens die Variable $X_1$: ``Wetter'' nur nominal skaliert ist, wird der korrigierte Kontingenzkoeffizient berechnet.
Dazu müssen die erwarteten Häufigkeiten unter Unabhängigkeit berechnet werden $\hat{e}_{ij} =\frac{h_{i,\bullet}h_{\bullet,j}}{n}$.

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
cat(toHTMLorLatex(hexpected))
```

und die Residuen $\frac{(h_{ij}-\hat{e}_{ij})^2}{\hat{e}_{ij}}$

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
cat(toHTMLorLatex(hresidual))
```

Dann ergibt sich $K^2$ als Summe der Residuen

$K^2 = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^r \frac{(h_{ij} - \hat{e}_ij)^2}{\hat{e}_ij} = `r sum(residual)`$.

Und der unkorrigierte Kontingenzkoeffizient als

$C = \sqrt{\frac{K^2}{n + K^2}} \approx \sqrt{\frac{ `r k2`}{`r n+k2`}} \approx  `r ckoeff`$.

Bei einer Zeilen- oder Spaltenanzahl von höchstens 2 gilt für den korrigierten Kontingenzkoeffizienten: 

$C_{korr} = C \cdot \sqrt{\frac{2}{2-1}} =  `r ckoeff` \cdot \sqrt{2} \approx  `r sc$fx[1]`$.

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname:  BS-KontigenzK-1.Rmd
