<!--- Filename should be: topic_story_anwserformat.Rmd --->
<!--- st-ML-8-3b.Rnw -->
  
```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
ed <- exams:::.exams_get_internal("xexams_dir_exercises")
call <- exams2call()
## DATA GENERATION
#stories <- list.files(pattern="hypergeometrische_verteilung_geburtstag\\_[0-9]*.Rmd", path=paste0(ed, "/verteilung"), #full.names = TRUE)
#story   <- sample(stories, size=1)
#variables
n  <- sample(4:10, 1)
sp <- c(0:2, sample(0:2, size=n-3, replace=TRUE))
#part a
zero  <- sum(sp==0)
one   <- sum(sp==1)
two   <- sum(sp==2)
pNum  <- zero+one
pMin1 <- one+(2*two)
#part b
f <- c("p","p(1-p)","(1-p)^2")
Z <- pNum+pMin1
p_hat <- pNum/Z
d2    <- round(pMin1/(1-p_hat)^2 - pNum/(p_hat)^2,2)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```
  
Ein verliebter Student musste oft zu lange auf den Anruf seiner Freundin warten. 
In den Wartezeiten hat er sich naturgemäß seine Zeit damit vertrieben, ein Wahrscheinlichkeitsmodell für 
die Wartezeiten aufzustellen. Er erhielt folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Wartezeit $X$ (in Tagen): 
  
$P(X=0)=p$, $P(X=1)=p \cdot (1-p)$ und $P(X=2)=(1-p)^2$.

Konkret erhielt er dann folgende Stichprobe: `r as_string(sp, last=" und ")`.

Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzwert von $\hat{p}$ für diese Stichprobe. 
Gehen Sie davon aus, dass die zweite Ableitung der Likelihood-/Log-Likelihood-Funktion nach $p$ 
an der Stelle von $\hat{p}$ negativ ist.

Runden Sie Ihr Ergebnis auf 4 Stellen nach dem Komma und benutzen Sie den natürlichen Logarithmus.

Solution
========
  
\begin{align*}
L(p)                                                 &= p^{`r zero`}\cdot p^{`r one`}(1-p)^{`r one`} \cdot (1-p)^{2\cdot`r two`}\\
L(p)                                                 &= p^{`r pNum`}\cdot (1-p)^{`r pMin1`}\\
\log(L(p))                                           &= `r pNum` \cdot \log(p)+ `r pMin1` \cdot \log(1-p)\\
\frac{d\log(L(p))}{dp}                               &= \frac{`r pNum`}{p}-\frac{`r pMin1`}{1-p}\\
\frac{d^2\log(L(p))}{dp^2}                           &= \frac{`r pMin1`}{(1-p)^2}-\frac{`r pNum`}{p^2}\\
\frac{`r pNum`}{\hat{p}}-\frac{`r pMin1`}{1-\hat{p}} &=0\\
`r pNum` \cdot (1-\hat{p}) - `r pMin1` \cdot \hat{p} &=0\\
\hat{p}                                              &=\frac{`r pNum`}{`r Z`}=`r round(p_hat,4)`
\end{align*}


Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r round2(p_hat,4)` 
extol: 0.001
exname: `r if(exists("story")) story else knitr::current_input()`
