```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
n <- sample(seq(10,60,10),1)
R <- sample(seq(0.1,0.4,0.1),1)*n
NR <- n-R
#part b
sc <- num_result(R/n, 4)
```

Question
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```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Der internationale Club Orbis Humboldtianus möchte zur besseren Planung seiner Veranstaltungen den Anteil der Raucher unter den HU-Studierenden ermitteln. Im Rahmen einer Blitzumfrage erhielt man folgende Antworten: 

Rauchend:  `r R` und Nichtrauchend:  `r NR`.

Dabei wird die Blitzumfrage als eine einfache Zufallsstichprobe mit Zurücklegen aufgefasst. Welcher Maximum-Likelihood Schätzwert ergibt sich für den Anteil der Raucher in der Grundgesamtheit bei der gegebenen Stichprobe? `r round_de(sc$digits)`.

Gehen Sie davon aus, dass die zweite Ableitung der Likelihood-/Log-Likelihood-Funktion nach $p$ an der Stelle von $\hat{p}$ negativ ist. 

Solution
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\begin{align*}
l(p) &= \log(p^{ `r R`} \cdot (1-p)^{ `r NR`})\\
&=  `r R` \cdot \log(p)+ `r NR` \cdot \log(1-p)\\
\frac{\partial{l(p)}}{\partial{p}} &= \frac{ `r R`}{p}-\frac{ `r NR`}{1-p} \stackrel{!}{=} 0 \\
\hat{p} &= \frac{ `r R`}{ `r n`} =  `r sc$x[1]`
\end{align*}

Der Maximum-Likelihood Schätzwert für den Anteil der Raucher in der Grundgesamtheit beträgt $\hat{p}= `r sc$x[1]`$. 

Meta-information
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extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: st_ML_8_2b.Rmd
