<!--- Filename should be: topic_story_anwserformat.Rmd --->

```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
call <- exams2call()
### DATA GENERATION
library("magrittr")
n  <- sample(4:7, 1)
repeat {
  # create data set(s)  and additional information
  # break only if all conditions are fulfilled
  if (TRUE) break
}

points1 <- 2
#part b
trans <- sample(seq(6,10,1),1)
X <- sample(seq(3,5,1),1)
FX <- 0
for(k in 0:X){
  FX <- FX + exp(-trans)*(trans^{k}/factorial(k))
}
FX <- round(FX,4)
FXper <- FX*100
FXc <- round(1 - FX,4)
FXperc <- 100 - FXper
fX <- round(exp(-trans)*(trans^{X}/factorial(X)),4)
fXper <- fX*100

## DATA PRESENTATION
# create here all text representation for the exercises
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

  In modernen Handelssystemen wie dem Xetra System der Deutschen Börse finden im Laufe des kontinuierlichen Wertpapierhandels (9.00 - 17.30h) eine Vielzahl von Transaktionen statt. Zur Analyse der Marktaktivität zu Beginn des Handelstages wird u.a. die folgende Zufallsvariable betrachtet:

$X:$ ''Anzahl der Transaktionen während der ersten Handelsminute'',

$X \sim PO(\lambda)$.

Wir nehmen an, dass in der ersten Handelsminute im Schnitt `r trans` Transaktionen erfolgen. Berechnen Sie den Wert von $F_{X}(`r X`)$.


Bitte runden Sie Ihr Ergebnis auf vier Stellen nach dem Komma.

Solution
=========

Der ''Intensitätsrate''-Parameter ist gegeben durch $\lambda=`r trans`$. Da $X\sim PO(`r trans`)$, ist die Verteilungsfunktion von $X$ gegeben durch:

\begin{align*}
F_{X}(x) &= \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} P(X=k) =\sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} \frac{`r trans`^{k}}{k!}e^{-`r trans`} =e^{-`r trans`} \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} \frac{`r trans`^{k}}{k!} , \,\,\, x\in\mathbb{R}.
\end{align*}

Damit erhalten wir:

\begin{align*}
F_{X}(`r X`) &= e^{-`r trans`}\sum_{k=0}^{`r X`}\frac{`r trans`^{k}}{k!} = `r FX`.
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r round2(FX,4)`
extol: 0.0002
exname: `r if(exists("story")) story else knitr::current_input()`
