<!--- Filename should be: topic_story_anwserformat.Rmd --->

```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
call <- exams2call()
### DATA GENERATION
ssig <- 10:50
  sig  <- sample(ssig, 1)
  sig2 <- sig^2
  alpha  <- sample(c(0.99, 0.98, 0.95, 0.9, 0.8), 1)
  alpha2 <- 1-(1-alpha)/2
  quant  <- round(qnorm(alpha2), 2)
  n <- sample(40:100, 1)
  e <- round(sqrt(sig^2*quant^2/n))
  l <- 2*e
  n <- round(sig^2*quant^2/e^2,3)

N <- ceiling(n) 
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Der Pegelstand des Rheins schwankt im Verlauf des Jahres. Das Umweltdezernat von Köln hat seit einigen
Jahren den Eindruck, dass sich die Schwankungen aufgrund des Klimawandels verändert haben. 

Wenn die Stadt Köln nicht mehr so oft die Spundwände zum Hochwasserschutz aufbauen müsste, dann könnte sie viel Geld sparen. Dafür darf die Standardabweichung des Pegelstandes `r sig` cm nicht überschreiten.

Es soll mittels einer statistischen Schätzung überprüft werden, ob sich eine Änderung ergeben hat. Nehmen Sie an, dass der Pegelstand des Rheins in Köln eine $N(\mu, \sigma)$-verteilte Zufallsvariable ist. Aus Erfahrung weiß man, dass die Standardabweichung garantiert kleiner oder gleich `r sig` cm ist. Wie groß müssen Sie den Stichprobenumfang mindestens wählen, damit das Schätzintervall $[v_u; v_o]$ für $\mu$ ($1 - \alpha = `r alpha`$) maximal `r l` cm lang wird? Beachten Sie, dass der Stichprobenumfang nur ganzzahlig sein kann.

Solution
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Da die Varianz von $X_i$ bekannt ist verwenden wir das Schätzintervall mit der Standardnormalverteilung.
\begin{align*}
n &\geq \frac{\sigma^2 \cdot z^2_{1 - \frac{\alpha}{2}}}{e^2}, \quad \text{ mit } \, \sigma^2 = `r sig2`, \, z_{`r alpha2`} = `r quant` \, \text{ und } \, e = `r e` \\
n &\geq \frac {`r sig2` \cdot `r quant`^2}{`r e`^2} = `r n`\\
\Rightarrow \quad n &\geq `r N` 
\end{align*}

<!--- Put here the solution text --->

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r round2(N)`
extol: 0.1
exname: `r if(exists("story")) story else knitr::current_input()`
