```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL

n <- sample(seq(25,50,5),1)
y <- meanint_data(n, c(2,12))
x <- meanint_data(n, c(36, 50))
z <- meanint_data(n, c(2,6))
yx <- cor_data(y, x, r=sample((5:9)/10, 1))
yz <- cor_data(y, z, r=sample((5:9)/10, 1))
#
x <- yx[,2]
z <- yz[,2]
y <- yx[,1]  
meanX <- mean(x)
meanY <- mean(y)
meanZ <- mean(z)
sumXY <- sum((x-meanX)*(y-meanY))
sumZY <- sum((z-meanZ)*(y-meanY))
sumY2 <- sum((y-meanY)^2)
sumX2 <- sum((x-meanX)^2)
sumZ2 <- sum((z-meanZ)^2)
#part (b)
b_1 <- sumXY/sumX2
b_0 <- meanY-b_1*meanX
b01 <- runif(1)<0.5
sc  <- num_result(if (b01) b_0 else b_1, 4)     
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Eine Gruppe von Forschern möchte die Durchschnittsnotenpunkte von  `r n` Schülern in der Abiturprüfung (Variable $Y$, Notenpunkte von 0 bis 15) an Hand der Variable, "Anzahl der Fehlstunden in der Oberstufe" ($X$) , in einem einfachen linearen Regressionsmodell die Durchschnittsnotenpunkte vorhersagen.

Die Daten lieferten folgende Kennzahlen:
$$
\begin{array}{l}\displaystyle
\sum_{i=1}^{ `r n`} ( x_{i} - \bar{x} )( y_i - \bar{y} ) =  `r sumXY`; \quad \quad
\sum_{i=1}^{ `r n`} ( x_{i} - \bar{x} )^2 =  `r sumX2`; \\\\\displaystyle
\sum_{i=1}^{ `r n`} ( y_i - \bar{y} )^2 =  `r sumY2`; \quad \quad
\bar{x} =  `r meanX`; \quad \quad \bar{y} =  `r meanY`
\end{array}
$$
Berechnen Sie `r if(b01) "den Achsenabschnitt" else "die Steigung"` des linearen Regressionsmodells.   `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

\begin{align*}
b_1 &= \frac{\sum_{i=1}^{ `r n`} ( x_{i} - \bar{x} )( y_i - \bar{y} )}{\sum_{i=1}^{ `r n`} ( x_{i} - \bar{x})^2} = \frac{ `r sumXY`}{ `r sumX2`} =  `r b_1` \\\\
b_0 &= \bar{y} - b_1 \cdot \bar{x} =  `r meanY` - ( `r b_1`) \cdot  `r meanX` =  `r b_0`
\end{align*}


Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: lr_koef12_2b.Rmd
