```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
n <- sample(5:10, 1)
r <- runif(1, -0.9, 0.9)
f <- sample(1:9, 3)
lm1 <- lm1_data(r, nmax=n, xsos=sos100, 
                center=f[1]*c(10, f[3]*100), scale=f[2]*c(1,f[3]*10))
x <- lm1$xy[,1]
y <- lm1$xy[,2]
# make sure mean(x) and mean(y) can be rounded to one digit behind decimal point
#meanX <- 0.2*round(5*mean(x),0)
#meanY <- 0.2*round(5*mean(y),0)
#x[n] <- x[n]-n*(mean(x)-meanX)
#y[n] <- y[n]-n*(mean(y)-meanY)
meanX   <- mean(x)
meanY   <- mean(y) 
sumX2   <- sum((x-meanX)^2)
sumY2   <- sum((y-meanY)^2)
#n <- 9
#meanX <- 80
#meanY <- 4800
#sumX2 <- 1600
#sumY2 <- 5760000
#sumXi   <- sum(x)
#sumYi   <- sum(y)
#sumYi2  <- sum(y^2)
#sumXiYi <- sum(x*y)
#sumXi2  <- sum(x^2)
s_x     <- sqrt(sumX2/n)
s_y     <- sqrt(sumY2/n)
r_xy    <- cor(x, y)
#r_xy <- -0.51
#part (a)
b_1  <- r_xy*(s_y/s_x)
b_0  <- meanY-b_1*meanX
R2   <- r_xy^2
strp <- num2str(meanX, meanY, sumY2,  sumX2, b_0, b_1, r_xy, R2, s_x, s_y)
whb  <- runif(1)<0.5
sc   <- num_result(if(whb) b_0 else b_1, 3)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Betrachten Sie ein (einfaches) Regressionsmodell $y_i = b_0 + b_1 x_i + \epsilon_i$, das
die  üblichen Annahmen erfüllt. Auf Basis einer Stichprobe vom
Umfang $n= `r n`$ sollen die Parameter des Modells geschätzt werden.
Der Korrelationskoeffizient nach Bravais und Pearson für die beiden Variablen
beträgt $r_{xy}= `r strp$r_xy`$. Außerdem sind folgende Größen bekannt:
$$ \sum_{i=1}^{ `r n`} (x_i - \bar{x})^2 =  `r sumX2`, \ \ \ \ \ \sum_{i=1}^{ `r n`} (y_i - \bar{y})^2 =  `r strp$sumY2`, \ \ \ \ \ \bar{x}= `r strp$meanX`, \ \ \ \ \ \bar{y}= `r strp$meanY`$$
Berechnen Sie die Koeffizienten $`r if(whb) "b_0" else "b_1"`$ der linearen Regression. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

Aus der Formelsammlung wissen wir, dass:
$$ b_1= r_{xy}\frac{s_y}{s_x}$$
In unserem Fall gilt 

* $s_x = \sqrt{\frac{1}{ `r n`} \cdot \sum_{i=1}^{ `r n`} (x_i - \bar{x})^2}=\sqrt{\frac{1}{ `r n`} \cdot  `r strp$sumX2`}= `r strp$s_x`$ und 
* $s_y = \sqrt{\frac{1}{ `r n`} \cdot \sum_{i=1}^{ `r n`} (y_i - \bar{y})^2}=\sqrt{\frac{1}{ `r n`} \cdot  `r strp$sumY2`}=  `r strp$s_y`$. 

Folglich erhalten wir:
$$ b_1 =  `r strp$r_xy` \cdot \frac{ `r strp$s_y`}{ `r strp$s_x`} =  `r strp$b_1`$$
Ferner ergibt sich:
$$ b_0 = \bar{y} - b_1 \cdot \bar{x} =  `r strp$meanY` -  `r lbr(strp$b_1)` \cdot  `r strp$meanX` =  `r strp$b_0` $$

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: ../../statistik_i_ii/AARnw/lr_koef8_2a.Rmd
