```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
x <- 0:2
n <- length(x)
repeat {
  repeat {
    s <- rowSums(rmultinom(6, 1, runif(3)))
    if (all(s>0)) break
  }
  a  <- pprobability(x, power=0, sample=s)
  pa <- sapply(a$p, as.numeric)
  b  <- pprobability(x, power=0, sample=s)  
  pb <- sapply(b$p, as.numeric)  
  if (unique_max(c(a$LS$pf, b$LS$pf))) break
}
m <- cbind(pa, pb)
dimnames(m) <- list(0:2, c("Studie A", "Studie B"))
mtab <- html_matrix_sk(m, 'x', fmt=rep("%.1f", ncol(m))) 
nsam  <- table(a$sample)
lsa   <- paste0(nsam, '\\cdot(', a$x, "-", toLatex(a$ep), ')^2')
lsb   <- paste0(nsam, '\\cdot(', b$x, "-", toLatex(b$ep), ')^2')
sc    <- num_result(min(c(a$LS$pf, b$LS$pf)), digits=3)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Über die Anzahl an gekauften Notebooks pro befragter Person liegen Ihnen zwei Studien A und B vor. Die Zufallsvariable $X_k$ sei die ``Anzahl an gekauften Notebooks des $k$ten Befragten innerhalb von zehn Jahren''. Die Studien liefern verschiedene Verteilungen für die Zufallsvariable $X_k$ mit folgenden Erwartungswerten:

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
cat(toHTMLorLatex(mtab))
```

Sie befragen nun $`r sum(s)`$ zufällig und voneinander unabhängig ausgewählte Personen. Ihre Befragung ergab folgende Beobachtungswerte $x_i$ :

`r as_obs(a$sample, last=" und ")`.

Geben Sie für die bessere Verteilung nach dem Kleinste-Quadrate-Prinzip die Summe der quadrierten Abweichungen an. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

Die bessere Verteilung ist die mit der kleinsten Summe der quadrierten Abweichungen, also ist die Lösung $`r sc$x[1]`$.

Wenn $x_j$ die Merkmalsausprägungen sind und $x_i$ die Beobachtungen sind, dann gilt 

\begin{align*}
E_{A}(X) &= \sum_{j=1}^{`r n`} x_{j} \cdot P_A(X=x_j) \\
& = `r lsumprod(a$x, sapply(a$p, toLatex))`\\
&= `r as.numeric(a$ep)`\\
Q_A &= \sum_{i=1}^{`r sum(s)`} (x_{i}-E_A(X))^2\\
&= `r lsum(bracket(lsa))`\\
&= `r lsum(sapply(a$LS$pi, toLatex))`\\
&= `r as.numeric(a$LS$pf)`\\
E_{B}(X) &= \sum_{j=1}^{`r n`} x_{j} \cdot P_B(X=x_j) \\
& = `r lsumprod(b$x, sapply(b$p, toLatex))`\\
&= `r as.numeric(b$ep)`\\
Q_B &= \sum_{j=1}^{`r sum(s)`} (x_{i}-E_B(X))^2\\
&= `r lsum(bracket(lsb))`\\
&= `r lsum(sapply(b$LS$pi, toLatex))`\\
&= `r as.numeric(b$LS$pf)`
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`

extol: `r sc$tolerance`
exname: st_KQ_10_1b.Rmd
