```{r, echo=FALSE}
library("exams")
library("knitr")
include_supplement("kendall.num", recursive=TRUE)
library("exams.forge")
instruction <- NULL
library("mvtnorm")
repeat{
  n     <- sample(4:8, 1)
  r     <- runif(1, min=-0.9, max=0.9)
  xy0   <- rmvnorm(n, mean=c(0,0), sigma=matrix(c(1, r, r, 1), ncol=2))
  xy    <- apply(xy0, 2, rank)
  if (all_different(xy[,1], 0.5) && all_different(xy[,2], 0.5)) break
}
#
m     <- cbind(xy[,1], xy[,2])
rownames(m)  <- 1:n
colnames(m)  <- c("Rang Glücksniveau", "Rang Performance")
hxy          <- html_matrix_sk(m, title="Schüler", fmt=c("%.0f", "%.0f"))
#
sc    <- num_result (cor(xy[,1], xy[,2], method="kendall"), digits = 3, tolmult = 2)
xy    <- xy[order(xy[,1]),]
sol   <- rbind(t(xy), 
               rowSums(outer(xy[,1], xy[,1], "<") & outer(xy[,2], xy[,2], "<")),
               rowSums(outer(xy[,1], xy[,1], "<") & outer(xy[,2], xy[,2], ">")))
sol   <- cbind(sol, rowSums(sol))
colnames(sol) <- c(sprintf("%0.f", 1:n), "Summe")
row.names(sol) <- c("$x_i$", "$y_i$", "$p_i$", "$q_i$")
hsol  <- html_matrix_sk(sol, '', fmt=rep("%.0f", n+1))
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

In einer Schule wurde eine Studie durchgeführt, um die Beziehung zwischen der Leistung der Schüler und ihrem Selbstbewertung ihres Glücksniveaus zu untersuchen. `r n` Schüler wurden gebeten, ihre Durchschnittsnote anzugeben und ihr derzeitiges Glücksniveau zu bewerten. Für beide Variablen wurden Ränge berechnet.

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
cat(toHTMLorLatex(hxy))
```

Die Forscher möchten nun mit Kendall's $\tau$, einem Rangkorrelationskoeffizienten für ordinalskalierte Variablen, untersuchen, ob es einen Zusammenhang gibt. Welche Wert hat Kendall's $\tau$?

```{r, child="kendall.num"}
```

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: `r knitr::current_input(dir=TRUE)`



