```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
werte <- c(0,1,2)
k <- length(werte)
fx <- ddiscrete(runif(k))
fy <- ddiscrete(runif(k))
f <- ddiscrete2(fx, fy, target=sample((0:9)/10, 1))
dimnames(f) <- list(werte, werte)
hf <- html_matrix_sk(f, "X / Y", fmt=rep("%.2f", ncol(f)))
x  <- matrix(fx, nrow=1, dimnames=list("$P(X=x_i)$", werte))
hx <- html_matrix_sk(x, "$x_i$", fmt=rep("%.1f", ncol(x)))
Ex <- sum(fx*werte)
Ey <- sum(fy*werte)
cov <- sum(outer(werte-Ex, werte-Ey)*t(f))
Ex2 <- sum(f[1,]*werte^2)
sc  <- num_result(Ex2-Ex^2, 4)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Markus Motorix ist kein gern gesehener Kunde im Porzellan- und Glasladen. Der Inhaber des Ladens hat eine Wahrscheinlichkeitsfunktion über den von Markus verursachten Schaden erstellt, wobei $X$ die Anzahl der zerstörten Artikel in der Glasabteilung und $Y$ die Anzahl der zerstörten Artikel in der Porzellanabteilung beschreibt. Die Kovarianz zwischen beiden Variablen betrage $`r cov`$.

```{r xtable1, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(hf))
```

Bestimmen Sie $\textrm{Var}(X)$, wobei der erwartete Schaden in der Glasabteilung, also $E(X) =  `r Ex`$, bereits berechnet wurde. `r round_de(sc$digits)`. 

Solution
========

Es ergibt sich:

```{r xtable2, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(hx))
```

Wir bestimmen zunächst:
\begin{align*}
E(X^{2}) &= \sum_{i=1}^{`r k`}x_{i}^{2} P(X=x_{i}) \\
&= `r lsumprod(werte^2, fx)` =  `r Ex2`.
\end{align*}
Wir erhalten:
\begin{align*}
Var(X^{2}) &=E(X^{2})  -E(X)^{2} \\
&=  `r Ex2` -  `r lbr(Ex)`^{2} =  `r sc$x[1]`.
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: UZ-Varianz-2.Rmd
