```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
repeat{
  n  <- sample(c(4,6,8),1)
  x  <- seq(2000-960, 2000+960, length.out=n)
  b_1 <- sample((2:6)/500, 1)
  b_0 <- sample(2:5, 1)
  y      <- b_0+b_1*x+rnorm(n, 0, 5)
  sumY   <- signif(sum(y), 4)
  sumX   <- signif(sum(x), 4)
  sumX2  <- signif(sum(x^2), 4)
  sumY2  <- signif(sum(y^2), 4)
  sumX2  <- signif(sum(x^2), 4)
  sumXY  <- signif(sum(x*y), 4)
  r_x2y  <- (n*sumXY-sumX*sumY)/sqrt((n*sumX2-sumX^2)*(n*sumY2-sumY^2))
  if(r_x2y>0) break
}
strp   <- num2str(sumX, sumY, sumXY, sumX2, sumY2)
#part (a)
sc <- num_result(r_x2y,4)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Ein Autohersteller hat Daten über Merkmale der  $n=`r n`$ von ihm produzierten Automodelle erhoben:
$Y$ Treibstoffverbrauch auf $100$ km, $X$ Motorvolumen in cm$^3$. Aus den Daten wurden folgende Kennzahlen berechnet:

\begin{align*}
\sum_{i=1}^n x_{i} &=  `r strp$sumX`, \\
\sum_{i=1}^n x_{i}^2 &=  `r strp$sumX2`, \\
\sum_{i=1}^n y_i &=  `r  strp$sumY`, \\
\sum_{i=1}^n y_i^2 &=  `r  strp$sumY2`, \\
\sum_{i=1}^n x_{i}y_i &=  `r  strp$sumXY` 
\end{align*}

Berechnen Sie die folgende Größe: $r_{xy}$. `r round_de(sc$digits)`.


Solution
========


\begin{align*}
r_{xy} &=  \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{n \cdot \sum_{i=1}^n x_i \cdot y_i
-\sum_{i=1}^n x_i \cdot  \sum_{i=1}^n y_i }
{\sqrt{ \left(  n \cdot \sum_{i=1}^n x_i^2
-\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2 \right) 
\left( n \cdot \sum_{i=1}^n y_i^2
-\left(\sum_{i=1}^n y_i\right)^2 \right) }}\\
&= \frac{`r n`\cdot `r strp$sumXY`- `r strp$sumX`\cdot `r strp$sumY`}{\sqrt{
(`r n`\cdot `r strp$sumX2`- `r strp$sumX`^2)(`r n`\cdot `r strp$sumY2`- `r strp$sumY`^2)}} = `r sc$x[1]`
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: lr_koef8_4a.Rmd
