```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
grenzen_X <- c(0,1000,2000,4000) 
grenzen_Y <- c(0,2000,3000,4000) 
breiten_X   <- diff(grenzen_X)
klassemitte_X <- grenzen_X[-1]-breiten_X/2
breiten_Y   <- diff(grenzen_Y)
klassemitte_Y <- grenzen_Y[-1]-breiten_Y/2
f1          <- sort(ddiscrete(runif(length(klassemitte_X)), unit=10), decreasing=TRUE)
f2          <- sort(ddiscrete(runif(length(klassemitte_Y)), unit=10), decreasing=TRUE)
f           <- ddiscrete2(f1, f2, FUN=ord.spearman, target=sample((-9:9)/10, 1))
n           <- sample_size_freq(seq(5,200,5), f, 0)
tab         <- n*f
rownames(tab) <- sprintf("%.0f-%.0f km", grenzen_X[-length(grenzen_X)],  grenzen_X[-1])
colnames(tab) <- sprintf("%.0f-%.0f Einwohner", grenzen_Y[-length(grenzen_Y)],  grenzen_Y[-1])
mtab <- html_matrix_sk(tab, 'X / Y', fmt=c("%.0f", "%.0f", "%.0f"))
sel <- sample(length(klassemitte_X), 1)
sz  <- as_string(paste0(fmt(klassemitte_Y,0), "\\cdot", fmt(tab[sel,],0)), collapse="+", last="+")
sn  <- as_string(fmt(tab[sel,],0), collapse="+", last="+")
sc  <- num_result(sum(klassemitte_Y*tab[sel,])/sum(tab[sel,]),2)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Für eine Verkehrsdatenanalyse wurden die (durchschnittlich) gefahrenen Kilometer mit dem Fahrrad ($X$) sowie die Einwohnerzahl ($Y$) von  `r n` Gemeinden erfasst. Es ergab sich die folgende gemeinsame Verteilung:

```{r xtable1, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(mtab))
```

Wie groß ist die Einwohnerzahl der Gemeinden mit `r grenzen_X[sel]`-`r grenzen_X[sel+1]` gefahrenen Kilometer im Durchschnitt? `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

Zu berechnen ist ein bedingtes arithmetisches Mittel für $x_{`r sel`}=$ `r rownames(tab)[sel]`.

\begin{align*}
h(x_j) &= \sum_{i=1}^3 h(x_j, y_i) \\
\bar{y}_{bedingt}&=\sum_{i=1}^3 y_i^m \cdot f(y_i|x_j) , \mbox{ mit } f(y_i|x_j) = \frac{h(x_j, y_i)}{h(x_j)}\\ 
&= \frac{`r sz`}{`r sn`} = `r sc$fx`
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: US-bMittel-1.Rmd
