<!--- Filename should be: topic_story_anwserformat.Rmd --->

```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
call <- exams2call()
### DATA GENERATION
library("magrittr")
n  <- sample(4:7, 1)
repeat {
  # create data set(s)  and additional information
  # break only if all conditions are fulfilled
  if (TRUE) break
}
## DATA PRESENTATION
options(scipen=999)
#points
points4 <- 2
#Variables
kn <- sample(1:5, 1)
n <- seq(30,50,5)[kn]
# make sure: sum(x) < 1000 to stay within page width (solution)
x <- sample((2*(10-kn)):(4*(10-kn)),n,replace=TRUE)
y <- x-sample((6-kn):(3*(6-kn)),n,replace=TRUE)
# make sure mean(x) and mean(y) can be rounded to one digit behind decimal point
meanX <- 0.2*round(5*mean(x),0)
meanY <- 0.2*round(5*mean(y),0)
x[n] <- x[n]-n*(mean(x)-meanX)
y[n] <- y[n]-n*(mean(y)-meanY)

sumXi <- sum(x)
sumYi <- sum(y)
sumYi2 <- sum(y^2) 
sumXiYi <- sum(x*y) 
sumXi2 <- sum(x^2) 
#part (a)
b_0 <- round((sumYi*sumXi2 - sumXi*sumXiYi)/(n*sumXi2 - sumXi^2),4)
b_1 <- round((n*sumXiYi - sumXi*sumYi)/(n*sumXi2 - sumXi^2),4)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

 Als Aktuar einer Versicherungsfirma untersuchen Sie den Zusammenhang zwischen der Summe der Versicherungsbeiträge und der Summe der Auszahlungen der `r n` größten Kunden über die letzten 30 Jahre. Anhand von folgenden Summen (in Mio. Euro) sollen Sie eine lineare Regression durchführen und die Summe der Auszahlungen (Y) durch die Summe der Beiträge (X) erklären.


\begin{align*}
  \sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i & =  `r sumXi` & \sum\limits_{i=1}^{`r n`} y_i^2 & = `r sumYi2` \\
  \sum\limits_{i=1}^{`r n`} y_i & =  `r sumYi` & \sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i y_i & = `r sumXiYi` \\
	\sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i^2 & =  `r sumXi2` 
\end{align*}

Berechnen Sie den Koeffizienten $b_1$ der linearen Regression.

Runden Sie Ihr Ergebnis auf drei Nachkommastellen.

Solution
=========
\begin{align*}
b_1 = \frac{`r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i y_i - \left( \sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i \right) \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^{`r n`} y_i \right) }{`r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i^2 - \left( \sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i \right)^2 } = \frac{`r n` \cdot `r sumXiYi`-`r sumXi` \cdot `r sumYi`}{`r n` \cdot `r sumXi2` - \left(`r sumXi`\right)^2} = `r b_1`
\end{align*}
	
Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r round2(b_1,3)`
extol: 0.005
exname: `r if(exists("story")) story else knitr::current_input()`
