```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
x <- 0:2
n <- length(x)
repeat {
  repeat {
    s <- rowSums(rmultinom(6, 1, runif(3)))
    if (all(s>0)) break
  }
  a  <- pprobability(x, power=0, sample=s)
  pa <- sapply(a$p, as.numeric)
  b  <- pprobability(x, power=0, sample=s)  
  pb <- sapply(b$p, as.numeric)  
  if (unique_max(c(a$ep, b$ep))) break
}
m <- cbind(pa, pb)
dimnames(m) <- list(0:2, c("Studie A", "Studie B"))
mtab <- html_matrix_sk(m, 'x', fmt=rep("%.1f", ncol(m))) 
ab   <- runif(1)<0.5
sab  <- if (ab) "A" else "B"
pab  <- if (ab) a else b
sc   <- num_result(if (ab) as.numeric(a$ep) else as.numeric(b$ep), digits=3)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Sie interessieren sich für die Anzahl an gekauften Notebooks pro Befragten innerhalb von zehn Jahren. Hierzu liegen Ihnen zwei Studien vor. Die Zufallsvariable $X$ sei die ``Anzahl an gekauften Notebooks des $k$ten Befragten innerhalb von zehn Jahren''. Die Studien liefern folgende Wahrscheinlichkeitsfunktionen für $X$:

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
cat(toHTMLorLatex(mtab))
```

Sie befragen nun $`r sum(s)`$ zufällig und voneinander unabhängig ausgewählte Personen. Ihre Befragung ergab folgende Beobachtungswerte $x_i$ :

`r as_obs(a$sample, last=" und ")`.

Welche Anzahl an Notebooks wird im Mittel unter Verteilung `r sab` erwartet? `r round_de(sc$digits)`

Solution
========

Wenn $x_j$ die Merkmalsausprägungen sind und $x_i$ die Beobachtungen sind, dann gilt 

\begin{align*}
E_{`r sab`}(X) &= \sum_{j=1}^{`r n`} x_{j} \cdot P_`r sab`(X=x_j) \\
& = `r lsumprod(pab$x, sapply(pab$p, toLatex))`\\
&= `r sc$x[1]`\\
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: st_KQ_10_1a.Rmd, st_KQ_10_1aa.Rmd
