<!--- Filename should be: topic_story_anwserformat.Rmd --->

```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
call <- exams2call()
### DATA GENERATION
library("magrittr")
n  <- sample(4:7, 1)
#variables
mu <- sample(72:82,1)
var <- (sample(6:10,1))^2
#part b
mu2 <- 853*mu
sigma <- sqrt(841*var)
#part d
Y_1 <- round(mu2+5*sigma,0)
phi_1 <- round((Y_1-mu2)/sigma,2)
phi1 <- round(pnorm(phi_1),6)
Y_2 <- round(mu2+0.3*sigma,0)
phi_2 <- round((Y_2-mu2)/sigma,4)
phi2 <- round(pnorm((Y_2-mu2)/sigma),4)
Y_3 <- round(mu2-0.3*sigma,0)
phi_3 <- round((Y_3-mu2)/sigma,4)
phi_4 <- abs(phi_3)
phi_5 <- abs((Y_3-mu2)/sigma)
phi3 <- round(pnorm(phi_5),4)
P <- round(pnorm((Y_2-mu2)/sigma) - 1 + pnorm(phi_5),4)
## DATA PRESENTATION
Sigmasq <- toString(sigma^2)
Sigma <- toString(sigma)
Y3 <- toString(Y_3)
Y2 <- toString(Y_2)
Mu2 <- toString(mu2)
Phi_2 <- toString(phi_2)
Phi_3 <- toString(phi_3)
Phi_4 <- toString(phi_4)
Phi2 <- toString(phi2)
Phi3 <- toString(phi3)
p <- toString(P)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Die Zufallsvariable $Y$: "Gesamtgewicht der Passagiere eines voll besetzen Flugzeugs" sei normalverteilt mit den Parametern $\mu = `r Mu2`$ kg und $\sigma^2 = `r Sigmasq`$ kg$^2$. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gesamtgewicht der Fluggäste eines voll besetzten Flugzeugs <u>größer</u> als `r Y3` kg ist, jedoch <u>maximal</u> `r Y2` kg beträgt. 

Bitte runden Sie Ihr Ergebnis auf vier Stellen nach dem Komma. 


Solution
=========

Da $Y$ normalverteilt ist, gilt:
\begin{align*} 
Z &:= \frac{Y-\mu}{\sigma} = \frac{Y- `r Mu2`}{`r sigma`} \sim \mathcal{N}(0,1).
\end{align*}
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 
\begin{align*}
\{Y > `r Y3`\}\cap\{Y\leq `r Y2`\} &= \{`r Y3`<Y\leq `r Y2`\} \\
                                             &= \{Y\leq `r Y2`\}\setminus\{Y \leq `r Y3`\}.
\end{align*}

Wir erhalten:
\begin{align*}
P(`r Y3` < Y \leq `r Y2`) &= P(Y \leq `r Y2`) - P(Y\leq `r Y3`) \\
&= P(\frac{Y-`r Mu2`}{`r Sigma`} \leq \frac{`r Y2`-`r Mu2`}{`r Sigma`}) \\
&\phantom{=} \,\,\, - P(\frac{Y-`r Mu2`}{`r Sigma`} \leq\frac{`r Y3`-`r Mu2`}{`r Sigma`}) \\
&= P(Z \leq `r Phi_2` ) - P(Z\leq `r Phi_3`)\\
&= \Phi (`r Phi_2`) - \Phi(`r Phi_3`) \\
&= \Phi (`r Phi_2`) - 1 + \Phi(`r Phi_4`) \\
&= `r Phi2` - 1 + `r Phi3` \\
&= `r p`.
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r round2(P,4)`
extol: 0.001
exname: `r if(exists("story")) story else knitr::current_input()`
