```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
repeat{
  gr  <- sort(sample(1:20, 4))
  b   <- gr[4]
  a   <- gr[1]
  x1  <- gr[2]
  x2  <- gr[3]
  Fx1 <- (x1-a)/(b-a)
  Fx2 <- (x2-a)/(b-a)
  if (all(is_terminal(c(Fx1,Fx2)))) break
}
sc  <- num_result((punif(x2,a,b) - punif(x1,a,b))/ punif(x1,a,b, lower.tail = FALSE), 4)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Eine stetige Zufallsvariable $X$ habe im Intervall $[ `r a`,  `r b` ]$ die Verteilungsfunktion 

$$F(x) = \frac{x- `r a`}{ `r b-a`}, \quad x \in [ `r a`, `r b`].$$

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert kleiner als  `r x2` annimmt, gegeben, dass $X$ größer als  `r x1` ist?  `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit von $\left\{ X <  `r x2` \right\}$ unter $\left\{ X >  `r x1` \right\}$. Betrachte zunächst:
\begin{align*}
P(X <  `r x2`) &\overset{\text{da }X\text{ stetig}}{=} P(X \leq  `r x2`) = F( `r x2`)= \frac{ `r x2`- `r a`}{ `r b-a`}= \frac{ `r x2-a`}{ `r b-a`} = `r Fx2` \\
P(X \leq  `r x1`) &= F( `r x1`)= \frac{ `r x1`- `r a`}{ `r b-a`}= \frac{ `r x1-a`}{ `r b-a`} = `r Fx1`
\end{align*}
Wir erhalten:
\begin{align*}
P(X <  `r x2` | X >  `r x1` ) &= \frac{P(\left\{ X <  `r x2` \right\}\cap\left\{X >  `r x1`\right\})}{P(X >  `r x1`)} = \frac{P( `r x1` < X <  `r x2`)}{P(X >  `r x1`)} \\
&=
\frac{P(X <  `r x2`)-P(X \leq  `r x1`)}{1 - P(X \leq  `r x1`)} = \frac{F( `r x2`)-F( `r x1`)}{1-F( `r x1`)} \\
&= \frac{ `r Fx2`- `r Fx1`}{1- `r Fx1`}= `r sc$x[1]`
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: UZ-bedingtP-1.Rmd
