```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
p.m      <- sample(seq(50, 80, 1),1)/100
p.t.g.m  <- sample(seq(71, 80, 1),1)/100
p.t.g.nm <- sample(seq(30, 39, 1),1)/100
### Example for notation:
### P(M)      = p.m
### P(T | M)  = p.t.g.m   # ``T given M''
### P(T | notM) = p.t.g.nm  # ``T given not M''
### P(T i M)  = p.t.i.m   # ``T intersected with M''
### P(T u M)  = p.t.u.m   # ``T united with M''
### P(M); P(T|M); P(T|notM) need to be given
# probs <- function(p.m=NA,p.t.g.m=NA,p.t.g.nm=NA) {
### probabilities of complements
p.nm      <- 1 - p.m
p.nt.g.m  <- 1 - p.t.g.m
p.nt.g.nm <- 1 - p.t.g.nm
### probabilities of intersections
p.t.i.m   <- p.m *p.t.g.m
p.t.i.nm  <- p.nm*p.t.g.nm
p.nt.i.m  <- p.m *p.nt.g.m
p.nt.i.nm <- p.nm*p.nt.g.nm
### probability of T (non T)
p.t       <- p.t.i.m + p.t.i.nm
p.nt      <- 1 - p.t
### probailities given T (non T)
p.m.g.t   <- p.t.i.m/p.t
p.nm.g.t  <- 1 - p.m.g.t
p.m.g.nt  <- p.nt.i.m/p.nt
p.nm.g.nt <- 1 - p.m.g.nt
### probability of unions
p.t.u.m   <- p.t  + p.m  - p.t.i.m
p.t.u.nm  <- p.t  + p.nm - p.t.i.nm
p.nt.u.m  <- p.nt + p.m  - p.nt.i.m
p.nt.u.nm <- p.nt + p.nm - p.nt.i.nm
#	### output
#	d <- data.frame(p.m,     p.nm,     p.t,      p.nt,
#	                p.t.i.m, p.t.i.nm, p.nt.i.m, p.nt.i.nm,
#	                p.t.u.m, p.t.u.nm, p.nt.u.m, p.nt.u.nm,
#	                p.t.g.m, p.nt.g.m, p.t.g.nm, p.nt.g.nm,
#	                p.m.g.t, p.nm.g.t, p.m.g.nt, p.nm.g.nt)
#   colnames(d) <- c("P(M)", "P(notM)","P(T)","P(notT)",
#                     "P(T i M)","P(T i notM)","P(notT i M)", "P(notT i notM)",
#                     "P(T u M)","P(T u notM)","P(notT u M)", "P(notT u notM)",
#                     "P(T | M)","P(notT | M)","P(T | notM)","P(notT | notM)",
#                     "P(M | T)","P(notM | T)","P(M | notT)","P(notM | notT)")
#    rownames(d) <- "result"
#    return(d)
#}
#
# r <- probs(p.m=p.m,p.t.g.m=p.t.g.m,p.t.g.nm=p.t.g.nm)
# Access probabilities by r["P(T i M)"] for P(T i M).
sc <- num_result(p.t, 4)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Sie wollen eine neue App auf den Markt bringen und schätzen den Markterfolg auf  `r 100*p.m`$\%$ ein. Sie wollen Ihre App daher unter Ihren Kommilitonen erst einmal testen, da Sie gehört haben, dass später erfolgreiche Apps zu  `r 100*p.t.g.m`$\%$ auch einen Testerfolg hatten. Allerdings waren auch  `r 100*p.t.g.nm`$\%$ der Flops zuvor im Testmarkt erfolgreich.

Wie wahrscheinlich ist es, dass Ihre App erfolgreich im Test ist? `r round_de(sc$digits)`.

Verwenden Sie die folgenden Definitionen:
\begin{align*}
T &\text{ stehe für ``Testerfolg der neuen App''} \\
M &\text{ stehe für ``Markterfolg der neuen App''}
\end{align*}

Solution
========

Gegeben sind:
\begin{align*}
P(M)&= `r p.m` \implies P(\bar{M})= `r p.nm` \\
P(T|M)&= `r p.t.g.m` \\
P(T|\bar{M})&= `r p.t.g.nm`
\end{align*}
Gesucht ist $P(T)$. Wir benutzen den Satz der Totalen Wahrscheinlichkeit:
\begin{align*}
P(T) &= P((T \cap M)\cup (T\cap \bar{M}))= P(T\cap M)+ P(T\cap \bar{M}) \\
&= P(T | M)\cdot P(M) + P(T | \bar{M})\cdot P(\bar{M}) \\
&=  `r p.t.g.m`\cdot `r p.m`+ `r p.t.g.nm`\cdot `r p.nm` =  `r sc$x[1]`
\end{align*}

__Übersicht über alle Wahrscheinlichkeiten__

\begin{align*}
P(M) =  `r p.m`,        & P(T\cap M) =  `r p.t.i.m`,               & P(T\cup M) =  `r p.t.u.m`, \\
P(\bar{M}) =  `r p.nm`, & P(T\cap \bar{M}) =  `r p.t.i.nm`,        & P(T\cup \bar{M}) =  `r p.t.u.nm`, \\
P(T) =  `r p.t`,        & P(\bar{T}\cap M) =  `r p.nt.i.m`,        & P(\bar{T}\cup M) =  `r p.nt.u.m`, \\
P(\bar{T}) =  `r p.nt`, & P(\bar{T}\cap \bar{M}) =  `r p.nt.i.nm`, & P(\bar{T}\cup \bar{M}) =  `r p.nt.g.nm`,
\end{align*}

\begin{align*}
P(T|M) =  `r p.t.g.m`,        & P(M|T) =  `r p.m.g.t`, \\
P(\bar{T}|M) =  `r p.nt.g.m`, & P(\bar{M}|T) =  `r p.nm.g.t`, \\
P(T|\bar{M}) =  `r p.t.g.nm`, & P(M|\bar{T}) =  `r p.m.g.nt`,  \\
P(\bar{T}|\bar{M}) =  `r p.nt.g.nm`, & P(\bar{M}|\bar{T}) =  `r p.nm.g.nt`.
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: WR-TotalP-3.Rmd
