```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
n <- sample(5:10, 1)
r <- runif(1, -0.9, 0.9)
lm1 <- lm1_data(r, nmax=n, xsos=sos100, 
                center=c(10, 100), scale=c(1,10))
x <- lm1$xy[,1]
y <- lm1$xy[,2]
# make sure mean(x) and mean(y) can be rounded to one digit behind decimal point
#meanX <- 0.2*round(5*mean(x),0)
#meanY <- 0.2*round(5*mean(y),0)
#x[n] <- x[n]-n*(mean(x)-meanX)
#y[n] <- y[n]-n*(mean(y)-meanY)
meanX   <- mean(x)
meanY   <- mean(y)
sumXi   <- sum(x)
sumYi   <- sum(y)
sumYi2  <- sum(y^2)
sumXiYi <- sum(x*y)
sumXi2  <- sum(x^2)
#part (a)
b_0  <- round((sumYi*sumXi2 - sumXi*sumXiYi)/(n*sumXi2 - sumXi^2), 4)
b_1  <- round((n*sumXiYi - sumXi*sumYi)/(n*sumXi2 - sumXi^2), 4)
strp <- num2str(meanX, meanY, sumXi, sumYi, sumYi2, sumXiYi, sumXi2, b_0, b_1)
whb  <- runif(1)<0.5
sc   <- num_result(if(whb) b_0 else b_1, 3)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Als Aktuar einer Versicherungsfirma untersuchen Sie den Zusammenhang zwischen der Summe der Versicherungsbeiträge und der Summe der Auszahlungen der `r n` größten Kunden über die letzten 30 Jahre. Anhand von folgenden Summen (in Mio. Euro) sollen Sie eine lineare Regression durchführen und die Summe der Auszahlungen (Y) durch die Summe der Beiträge (X) erklären.

$$
\begin{array}{lcllcl}
\sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i & = &  `r strp$sumXi` & \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} y_i^2 & = &  `r strp$sumYi2` \\
\sum\limits_{i=1}^{ `r n`} y_i & = &  `r strp$sumYi` & \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i y_i & = &  `r strp$sumXiYi` \\
\sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i^2 & = &  `r strp$sumXi2`
\end{array}
$$
Berechnen Sie den Koeffizienten $`r if(whb) "b_0" else "b_1"`$ der linearen Regression. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

$$b_1 = \frac{ `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i y_i - \left( \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i \right) \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} y_i \right) }{ `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i^2 - \left( \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i \right)^2 } = \frac{ `r n` \cdot  `r strp$sumXiYi`- `r strp$sumXi` \cdot  `r strp$sumYi`}{ `r n` \cdot  `r strp$sumXi2` - \left( `r strp$sumXi`\right)^2} =  `r b_1`$$

und

$b_0 = \bar{y} - b_1 \cdot \bar{x} =  `r strp$meanY` -  `r strp$b_1` \cdot  `r strp$meanX` =  `r strp$b_0`$

oder direkt:

$$b_0 = \frac{ \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} y_i \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i^2 - \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i y_i } {  `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i^2 - \left( \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i \right)^2 } = \frac{ `r strp$sumYi` \cdot  `r strp$sumXi2` -  `r strp$sumXi` \cdot  `r strp$sumXiYi`}{ `r n` \cdot  `r strp$sumXi2` - \left( `r strp$sumXi`\right)^2} =  `r strp$b_0`$$

Somit: $\hat{y}_i = b_0 + b_1 \cdot x_i =  `r strp$b_0` +  `r strp$b_1`x_i$ 

Meta-information
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extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: lr_koef8_1a.Rmd
