```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
sigma  <- sample(1:3, 1)
sigma2 <- sigma^2
sig    <- sigma+1
sig2   <- sig^2
ski  <- sample(90:120, 1)
k    <- sample(1:3, 1, prob=c(0.25, 0.5, 0.25))
alpha  <- c(90, 95, 99)[k]
alpha2 <- c(0.95, 0.975, 0.995)[k]
quant  <- c(1.64, 1.96, 2.58)[k]
e2     <- sigma^2*quant^2/(35:200)
lf   <- unique(round(2*sqrt(e2),2))
l   <- sample(lf, 1)
e   <- l/2
n   <- sigma^2*quant^2/e^2
sc  <- int_result(ceiling(n))
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Um perfekte Eigenschaften von Skiern zu garantieren, müssen diese an der schmalsten Stelle $`r ski`$ mm breit sein, wobei die Standardabweichung $`r sigma`$ mm nicht überschreiten darf. Es soll mittels einer statistischen Schätzung überprüft werden, ob diese Bedingungen eingehalten werden.

Aus Erfahrung weiss man, dass die Standardabweichung garantiert kleiner oder gleich $`r sig`$ mm ist. Wie groß müssen Sie den Stichprobenumfang mindestens wählen, damit das Schätzintervall $[v_u; v_o]$ für $\mu$ ($1 - \alpha =  `r alpha`\%$) maximal $`r l`$ mm lang wird? 

Solution
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Da man in der Aufgabenstellung sowohl $\sigma=`r sigma`$ mm als auch $s=`r sig`$ mm gegeben haben, benutzen wir den größeren der beiden Werte in der Formel. Der größere Wert liefert zwar einen größeren Stichprobenumfang, aber man ist in jedem Fall auf der sicheren Seite.

\begin{align*}
n &\geq \frac{\sigma^2 \cdot z^2_{1 - \frac{\alpha}{2}}}{e^2}, \text{ wobei } \sigma^2 =  `r sig2`mm^2, \, z_{ `r alpha2`} =  `r quant`  \text{ und } e =  `r e`mm \\
n &\geq \frac { `r sig2` \cdot  `r quant`^2}{ `r e`^2} = `r n`\\
\Rightarrow \quad n &\geq  `r sc$x[1]`
\end{align*}

Meta-information
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extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: st_ki_8_1d.Rmd
