<!--- Filename should be: topic_story_anwserformat.Rmd --->
<!--- st-ML-8-3b.Rnw -->
  
```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
ed <- exams:::.exams_get_internal("xexams_dir_exercises")
call <- exams2call()
## DATA GENERATION
x  <- 0:2
repeat {
  xi <- c(x, sample(x, size=sample(1:6, 1),replace=TRUE))
  n  <- table(xi)
  lp <- cbind(ddiscrete(runif(length(x))), ddiscrete(runif(length(x)))-ddiscrete(runif(length(x))))
  # colSums(lp) = c(1,0)
  ep <- x*lp
  ex <- colSums(ep)
  qp <- cbind(x-ex[1], -ex[2])
  # print(qp)
  qp <- cbind(qp[,1]^2, 2*qp[,1]*qp[,2], qp[,2]^2)
  qp <- qp*as.vector(n)
  qs <- colSums(qp)
  ph <- -qs[2]/(2*qs[3])
  # print(ph)
  pn <- ph*lp[,2]+lp[,1]
  if (all(pn>=0, pn<=1) && (abs(ex[2])>1e-3)) break
}
```

Question
========
  
```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Ein Arzt nimmt am gleichen Patienten keine, eine oder zwei Blutdruckmessungen pro Quartal vor.
In einem Wissenschaftsjournal hat er gelesen, dass dort folgendes Modell für die Zahl
der Blutdruckmessungen benutzt wurde:

```{r, results='asis', echo=FALSE}
PX <- ifelse(abs(lp[,2])<1e-3, sprintf("%.1f", lp[,1]), 
                         sprintf("%.1f%+.1f \\cdot p", lp[,1], lp[,2]))
m  <- cbind(x=math(as.character(x)), "P(X=x)"=math(PX))
rownames(m) <- rep("", nrow(m))
m  <- html_matrix_sk(m, "", fmt=c("%s", "%s"))
cat(toHTMLorLatex(m))
```
Konkret erhielt er dann folgende Stichprobe: `r as_string(xi, last=" und ")`. Bestimmen Sie für den Arzt den Kleinste-Quadrate-Schätzwert von $\hat{p}$ für diese Stichprobe. 

* Der Erwartungswert ist $E(X)=`r sprintf("%.1f%+.1f \\cdot p", ex[1], ex[2])`$ und 
* die quadratische Form $Q(p)=`r sprintf("%.2f%+.2f \\cdot p %+.2f \\cdot p^2", qs[1], qs[2], qs[3])`$.

Gehen Sie davon aus, dass die zweite Ableitung der Kleinste-Quadrate-Funktion $Q(p)$ nach $p$ 
an der Stelle von $\hat{p}$ positiv ist.
 
Runden Sie Ihr Ergebnis auf 4 Stellen nach dem Komma.

Solution
========
  
\begin{align*}
\frac{d\,Q(p)}{d\,p}                                 &= `r sprintf("%.2f%+.2f \\cdot p ", qs[2], 2*qs[3])` = 0\\
\hat{p}                                              &= `r round(ph, 4)`
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r round2(ph,4)` 
extol: 0.001
exname: `r if(exists("story")) story else knitr::current_input()`
