<!--- Filename should be: topic_story_anwserformat.Rmd --->

```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
call <- exams2call()
### DATA GENERATION
alpha <- sample(c(0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2), 1)
n     <- sample(5:15, 1)
smean <- 200:400
ssig  <- 1:50
ski   <- sample(smean,1)
sigma <- sample(ssig,1)
a <- ski-sigma
b <- ski+sigma
X <- sample(seq(a,b,1),n,replace=TRUE)
#part a
xBar <- round(mean(X))
s2   <- var(X)
s2   <- round(s2)
s    <- round(sqrt(s2),2)
#part c
c   <- round(qt(1-alpha/2, n-1), 3)
v_u <- round(xBar - c * sqrt(s2/n),4)
v_o <- round(xBar + c * sqrt(s2/n),4)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Der Pegelstand des Rheins schwankt im Verlauf des Jahres. Das Umweltdezernat von Köln hat seit einigen
Jahren den Eindruck, dass sich die Schwankungen aufgrund des Klimawandels verändert haben. 

Wenn die Stadt Köln nicht mehr so oft die Spundwände zum Hochwasserschutz aufbauen müsste, dann könnte sie viel Geld sparen. Dafür darf die Standardabweichung des Pegelstandes `r sigma` cm nicht überschreiten.

Es soll mittels einer statistischen Schätzung überprüft werden, ob sich eine Änderung ergeben hat. Nehmen Sie an, dass der Pegelstand des Rheins in Köln eine $N(\mu, \sigma)$-verteilte Zufallsvariable ist. Anhand von `r n` Messungen an der Hohenzollernbrücke haben sich folgende Daten ergeben:

$\bar{x} = `r xBar`$ und $s^2 =  `r s2`$

Bestimmen Sie die untere Grenze des Schätzintervalls für $\mu$ bei einem 
Konfidenzniveau $1 - \alpha = `r  1-alpha`$. Runden Sie Ihr Ergebnis auf vier Stellen nach dem Komma!
<!--- Put here the exercise text --->

Solution
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Da die Varianz von $X_i$ unbekannt ist verwenden wir das Schätzintervall mit der $t$-Verteilung und $n-1$ Freiheitsgraden.
\begin{align*}
\left[v_u ; v_o\right] &= \left[\bar{x} - t_{1-\frac{\alpha}{2};f} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}; \bar{x} + t_{1-\frac{\alpha}{2};f} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\right] \qquad \text{, mit } f=n-1 = `r n-1` \\
\left[v_u ; v_o\right] &= \left[`r xBar` - `r c` \cdot \sqrt{\frac{`r s2`}{`r n`}}; `r xBar` + `r c` \cdot \sqrt{\frac{`r s2`}{`r n`}}\right] \\
&= [`r v_u`;`r v_o`]\\
\end{align*}

<!--- Put here the solution text --->

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r round2(v_u, 4)`
extol: 0.001
exname: `r if(exists("story")) story else knitr::current_input()`
