```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
sig  <- sample(seq(5,9, by=0.1), 1)
sig2 <- sig^2
k    <- sample(1:3, 1, prob=c(0.25, 0.5, 0.25))
alpha  <- c(90, 95, 99)[k]
alpha2 <- c(0.95, 0.975, 0.995)[k]
quant  <- c(1.64, 1.96, 2.58)[k]
e2     <- sig^2*quant^2/(35:200)
lf   <- unique(round(2*sqrt(e2),2))
l   <- sample(lf, 1)
e   <- l/2
n   <- sig^2*quant^2/e^2
sc  <- int_result(ceiling(n))
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Für eine Studie über den Gesundheitszustand von Studierenden, um u. a. die durchschnittliche Körpergröße zu ermitteln, soll eine Zufallsstichprobe erhoben werden. Wir wissen aus Erfahrung, dass die Körpergröße normalverteilt ist. 

Wie groß müssen Sie den Stichprobenumfang mindestens wählen, damit das Schätzintervall $[V_u; V_o]$ für $\mu$ ($1 - \alpha =  `r alpha`\%$) maximal $`r l`$ cm lang wird, wenn Sie wissen, dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit $\sigma= `r sig`$ cm beträgt? 

Solution
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\begin{align*}
n &\geq \frac{\sigma^2 \cdot z^2_{1 - \frac{\alpha}{2}}}{e^2}, \text{ wobei } \sigma^2 =  `r sig2`, \, z_{ `r alpha2`} =  `r quant`  \text{ und } e =  `r e`\\
n &\geq \frac { `r sig2` \cdot  `r quant`^2}{ `r e`^2} = `r n`\\
\Rightarrow \quad n &\geq  `r sc$x[1]`
\end{align*}

Meta-information
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extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: ../../statistik_i_ii/AARnw/st_ki_10_1d.Rmd
