```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
werte <- c(-1,0,1)
f1    <- ddiscrete(runif(length(werte)), unit=20)
f2    <- ddiscrete(runif(length(werte)), unit=20)
k      <- sample(seq(2,10,1),1)
#xtable
tab  <- rbind(f1, f2)
dimnames(tab) <- list(c("$P(X_1=x_i)$", "$P(X_2=x_i)$"), werte)
htab <- html_matrix_sk(tab, "$x_i$", fmt=rep("%.2f", ncol(tab)))
EX1 <- sum(werte*f1)
EX2 <- sum(werte*f2)
VX1 <- sum(((werte-EX1)^2)*f1)
VX2 <- sum(((werte-EX2)^2)*f2)
lsg <- (VX1+VX2)/(k^2)
sc  <- num_result(lsg, 4) 
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Zwei unabhängige diskrete Zufallsvariablen $X_1$ und $X_2$ haben folgende Verteilungen: 

```{r xtable1, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(htab))
```

Betrachten Sie die Zufallsvariable $Y = \frac{X_1 + X_2}{ `r k`}$. Berechnen Sie die Varianz von $Y$, wenn Sie wissen, dass $\textrm{Var}(X_1) = `r VX1`$ und $\textrm{Var}(X_2) = `r VX2`$ ist. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

Da $X_{1}$ und $X_{2}$ unabhängig sind, gilt $Cov(X_{1},X_{2})=0$. Wir erhalten:

\begin{align*}
Var(Y) &= Var(\frac{X_1 + X_2}{ `r k`}) \\
&= \frac{1}{ `r k`^{2}} (Var(X_1) + \textrm{Var}(X_2) + 2 \cdot  Cov(X_{1},X_{2}))  \\
&= \frac{1}{ `r k^2`}( `r VX1` +  `r VX2` + 2 \cdot 0) =  `r sc$x[1]`
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: ../../statistik_i_ii/AARnw/BZ-linKombination-2.Rmd
