<!--- Filename should be: topic_story_anwserformat.Rmd --->

```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide", warning=FALSE}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
call <- exams2call()
### DATA GENERATION
library("magrittr")
n  <- sample(4:7, 1)
repeat {
  # create data set(s)  and additional information
  # break only if all conditions are fulfilled
  if (TRUE) break
}

points1 <- 2
#variables
mu <- sample(72:82,1)
var <- (sample(6:10,1))^2
#part b
mu2 <- 853*mu
sigma <- sqrt(841*var)
#part d
Y_1 <- round(mu2+5*sigma,0)
phi_1 <- round((Y_1-mu2)/sigma,2)
phi1 <- round(pnorm(phi_1),6)
Y_2 <- round(mu2+0.3*sigma,0)
phi_2 <- round((Y_2-mu2)/sigma,4)
phi2 <- round(pnorm((Y_2-mu2)/sigma),4)
Y_3 <- round(mu2-0.3*sigma,0)
phi_3 <- round((Y_3-mu2)/sigma,4)
phi_4 <- abs(phi_3)
phi_5 <- abs((Y_3-mu2)/sigma)
phi3 <- round(pnorm(phi_5),4)
P <- round(pnorm((Y_2-mu2)/sigma) - 1 + pnorm(phi_5),4)
## DATA PRESENTATION
# create here all text representation for the exercises
mu2_s <- toString(853*mu)
sigma_s <- toString(sqrt(841*var))
sigma_s_s <- toString(sqrt(841*var)^2)
Y_2_s <- toString(round(mu2+0.3*sigma,0))
Y_3_s <- toString(round(mu2-0.3*sigma,0))
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Die Zufallsvariable $Y$ ''Gesamtgewicht der Passagiere eines voll besetzen Flugzeugs'' sei normalverteilt mit den Parametern $\mu = `r mu2_s`\text{kg}$ und $\sigma^2 = `r sigma_s_s`$ $\text{kg}^2$. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gesamtgewicht der Fluggäste eines voll besetzten Flugzeugs \underline{größer} als $`r Y_3_s`\text{kg}$ ist, jedoch \underline{maximal} $`r Y_2_s`\text{kg}$ beträgt.

Bitte runden Sie Ihr Ergebnis auf vier Stellen nach dem Komma.

Solution
=========
Da $Y$ normalverteilt ist, gilt:

\begin{align*} 
Z &:= \frac{Y-\mu}{\sigma} = \frac{Y-`r mu2_s`}{`r sigma_s`} \sim \mathcal{N}(0,1).
\end{align*}

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

\begin{align*}
\{Y > `r Y_3_s`\}\cap\{Y\leq `r Y_2_s`\} &= \{`r Y_3_s`<Y\leq `r Y_2_s`\} \\
                                             &= \{Y\leq `r Y_2_s`\}\setminus\{Y \leq `r Y_3_s`\}.
\end{align*}

Wir erhalten:

\begin{align*}
P(`r Y_3_s` < Y \leq `r Y_2_s`) &= P(Y \leq `r Y_2_s`) - P(Y\leq `r Y_3_s`) \\
&= P(\frac{Y-`r mu2_s`}{`r sigma_s`} \leq \frac{`r Y_2_s`-`r mu2_s`}{`r sigma_s`}) \\
&\phantom{=} \,\,\, - P(\frac{Y-`r mu2_s`}{`r sigma_s`} \leq\frac{`r Y_3_s`-`r mu2_s`}{`r sigma_s`}) \\
&= P(Z \leq `r phi_2` ) - P(Z\leq `r phi_3`)\\
&= \Phi (`r phi_2`) - \Phi(`r phi_3`) \\
&= \Phi (`r phi_2`) - 1 + \Phi(`r phi_4`) \\
&= `r phi2` - 1 + `r phi3` \\
&= `r P`.
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r round2(P,4)`
exname: `r if(exists("story")) story else knitr::current_input()`
extol: 0.0002
