```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
toTime <- function (t, year1, season=1) {
  txt <- NULL
  if (season==1) { # yearly data
    txt <- as.character(year1+t-1)
  } 
  if (season>1) {
    ts <- 1+((t-1)%%season)   
    ty <- year1+((t-1)%/%season)
    if (season==4) txt <- sprintf("%i. Quartal %i", ts, ty)
  }
  if (is.null(txt)) stop(sprintf("`season=%i` is not supported"))
  txt
}

library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
#variables
thisyear <- as.integer(format(Sys.Date(), "%Y"))
T_ZRM    <- 16
saison   <- 4
t        <- 1:T_ZRM
ttxt     <- toTime(t, thisyear-T_ZRM/saison, saison)
xt       <- 10*1.002^t*runif(length(t), 0.9, 1.1) 
lintr    <- lm(xt~t)
exptr    <- lm(log(xt)~t)
b0 <- round(lintr$coefficients[1], 3)
b1 <- round(lintr$coefficients[2], 3)
a  <- round(exp(exptr$coefficients[1]), 3)
b  <- round(exp(exptr$coefficients[2]), 3)
R  <- sort(sample(seq(0.951, 0.989, 0.002), 2))
Rlin  <- R[1]
Rexp  <- R[2]
x_lin <- b0 + b1 * (T_ZRM+1)
sc    <- num_result(a * b ^ (T_ZRM+1), 4)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Im einem Einzelhandelsunternehmen für Möbel besteht das Bedürfnis, den Umsatz (in Mio. EUR) für die kommenden Quartale zu prognostizieren, um die Lagerbestände und die finanzielle Planung besser zu verwalten. Es wurde beschlossen, einen Analysten zu beauftragen, der Zeitreihenmodelle berechnet, um die Umsatzentwicklung der letzten Jahre zu analysieren und eine Prognose für die kommenden Quartale abzuleiten.

\begin{eqnarray*}
t=1 &\widehat{=}\,  \text{`r ttxt[1]`}&\\
t=`r T_ZRM` &\widehat{=}\,  \text{`r ttxt[length(ttxt)]`} & \\
\text{lineares Modell:}& \quad  `r b0` `r lsgn(b1)` \cdot t ,& \quad R_{ZRM}^2= `r Rlin`, \quad T= `r T_ZRM` \\
\text{exponentielles Modell:}& \quad  `r a` \cdot  `r b`^t ,& \quad R_{ZRM}^2= `r Rexp`, \quad T= `r T_ZRM`
\end{eqnarray*}

Wählen Sie das bessere Modell aus und prognostizieren Sie den Umsatz für das `r toTime(T_ZRM+1, thisyear-T_ZRM/saison, saison)`.  `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

Da das $R_{ZRM}^{2}$ beim exponentiellen Modell höher ist als beim linearen, wird das exponentielle Modell ausgewählt. 

\begin{eqnarray*}
\hat{x}_t &=&  `r a` \cdot { `r b`^t} \\
\hat{x}_{ `r T_ZRM+1`} &=&  `r a` \cdot { `r b`^{`r T_ZRM+1`}} \\
\hat{x}_{ `r T_ZRM+1`} &=&  `r sc$x[1]`
\end{eqnarray*}

Prognosewert exponentiell:  `r sc$x[1]`, Prognosewert linear:  `r x_lin`

Meta-information
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extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: zr-prognose-1.Rmd
