```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
klassen_X <- c("10 - 15", "15 - 20", "20 - 40")
klassen_Y <- c("140 - 160", "160 - 180", "180 - 200")
fr <- ddiscrete(runif(length(klassen_X)))
fc <- ddiscrete(runif(length(klassen_Y)))
f  <- ddiscrete2(fr, fc, target=sample((0:10)/10, 1))
for (n in seq(5, 200, by=5)) {
  if (all_integer(f*n)) break
}
h   <- round(f*n, 0)
colnames(h) <- klassen_X
rownames(h) <- klassen_Y
n     <- sum(h)
tst   <- suppressWarnings(chisq.test(h))
hmat  <- html_matrix_sk(h, '', fmt=rep("%.0f", ncol(h)))
t     <- addmargins(tst$expected)
tmat  <- html_matrix_sk(t, '', fmt=rep("%.0f", ncol(t)))
pos   <- which(abs(h-tst$expected)>1e-6, arr.ind=TRUE)
lsg   <- ifelse(nrow(pos)>0,  paste0("Die Variablen sind nicht unabhängig, da die Bedingung für ", nrow(pos), " Zellen nicht erfüllt sind"), "Die Variablen sind unabhängig, da alle erwarteten und beobachteten Häufigkeiten übereinstimmen")
sc    <- num_result(nrow(pos), 0, tolmult=0.05)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

`r n` Personen wurden nach ihrem Alter ($X$) und ihrer Körpergröße in cm ($Y$) befragt. Das Ergebnis ist in der folgenden Kontingenztabelle zusammengefasst:


```{r, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(hmat))
```

Prüfen Sie, ob $X$ und $Y$ voneinander unabhängig sind. Geben Sie an, wie viele Tabelleneinträge für eine Abhängigkeit sprechen. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

$X$ und $Y$ heißen statistisch unabhängig, wenn für alle $i$ und $j$ gilt: $\hat{e}_{ij}=h_{ij}$. Die Tabelle der _erwarteten_ Häufigkeiten $\hat{e}_{ij}=\frac{h_{i\bullet}h_{\bullet j}}{n}$ kann durch Multiplikation der Randverteilungen ermittelt werden: 

```{r, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(tmat))
```

`r lsg`.


Meta-information
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extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: BS-Unabhkeit-1.Rmd
