```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
n <- sample(5:10, 1)
r <- runif(1, -0.9, 0.9)
lm1 <- lm1_data(r, nmax=n, xsos=sos100, 
                center=c(10, 100), scale=c(1,10))
x <- lm1$xy[,1]
y <- lm1$xy[,2]
# make sure mean(x) and mean(y) can be rounded to one digit behind decimal point
#meanX <- 0.2*round(5*mean(x),0)
#meanY <- 0.2*round(5*mean(y),0)
#x[n] <- x[n]-n*(mean(x)-meanX)
#y[n] <- y[n]-n*(mean(y)-meanY)
meanX   <- mean(x)
meanY   <- mean(y)
sumXi   <- sum(x)
sumYi   <- sum(y)
sumYi2  <- sum(y^2)
sumXiYi <- sum(x*y)
sumXi2  <- sum(x^2)
#part (a)
#part (a)
b_0 <- (sumYi*sumXi2 - sumXi*sumXiYi)/(n*sumXi2 - sumXi^2)
b_1 <- (n*sumXiYi - sumXi*sumYi)/(n*sumXi2 - sumXi^2)
#part (b)
R2 <- ((n*sumXiYi - sumXi*sumYi)^2)/((n*sumXi2 - (sumXi)^2)*(n*sumYi2 - (sumYi)^2))
strp <-num2str(meanX, meanY, sumXi, sumYi, sumYi2, sumXiYi, sumXi2, b_0, b_1, R2)
sc <- num_result(R2, 3)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Als Aktuar einer Versicherungsfirma untersuchen Sie den Zusammenhang zwischen der Summe der Versicherungsbeiträge  (in Mio. EUR) und der Summe der Auszahlungen (in Mio. EUR) der `r n` größten Kunden über die letzten 30 Jahre.

$$
\begin{array}{lcllcl}
\sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i & = &  `r strp$sumXi` & \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} y_i^2 & = &  `r strp$sumYi2` \\
\sum\limits_{i=1}^{ `r n`} y_i & = &  `r strp$sumYi` & \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i y_i & = &  `r strp$sumXiYi` \\
\sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i^2 & = &  `r strp$sumXi2`
\end{array}
$$
Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß für eine lineare Regression, die die Summe der
Auszahlungen (Y) durch die Summe der Beiträge (X) erklärt. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

\begin{eqnarray*}
R^2 &=& \dfrac{ \left(  `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i y_i - \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} y_i \right)^2 }{ \left[  `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i^2 - \left( \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i \right) ^2 \right] \left[  `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} y_i^2 - \left( \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} y_i \right) ^2 \right]} \\
&=& \dfrac{ \left(  `r n` \cdot  `r strp$sumXiYi` -  `r strp$sumXi` \cdot  `r strp$sumYi` \right)^2 }{ \left[  `r n` \cdot  `r strp$sumXi2` - \left(  `r strp$sumXi` \right)^2 \right] \left[  `r n` \cdot  `r strp$sumYi2` - \left(  `r strp$sumYi` \right)^2 \right]} =  `r R2` \\
\end{eqnarray*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: ../../statistik_i_ii/AARnw/lr_koef8_1b.Rmd
