```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
k <- 4
repeat {
  i     <- sample(c(1,2),1)
  werte <- sort(sample(-10:10, k))
  tab   <- rbind(ddiscrete(runif(k)), ddiscrete(runif(k)))
  ex    <- tab%*%werte
  if (is_terminal(ex)[i]) break
}
dimnames(tab) <- list(sprintf("$P(X_%i=x_i)$", 1:2), werte)
htab <- html_matrix_sk(tab, '', fmt=rep("%.2f", k))
EX   <- sum(tab[i,]*werte)
EX2  <- sum(tab[i,]*werte^2)
sc   <- num_result(EX2-EX^2, 4)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Zwei unabhängige diskrete Zufallsvariablen $X_1$ und $X_2$ haben folgende Verteilungen:

```{r xtable1, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(htab))
```

Berechnen Sie die Varianz für $X_{`r i`}$, wenn Sie wissen, dass der Erwartungswert durch  $E(X_{`r i`})= `r EX`$ gegeben ist. `r round_de(sc$digits)`. 

Solution
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Wir bestimmen zunächst:
\begin{align*}
E(X_{ `r i`}^{2}) &= \sum_{i=1}^{`r k`}x_{i}^{2}P(X_{`r i`}=x_{i}) \\
&= `r lsumprod(werte^2, tab[i,])` =  `r sc$x[1]`.
\end{align*}
Wir erhalten:
\begin{align*}
Var(X_{ `r i`}^{2}) &=E(X_{ `r i`}^{2})  -E(X_{ `r i`})^{2} \\
&=  `r EX2` -  `r lbr(EX)`^{2} =  `r sc$x[1]`.
\end{align*}


Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: UZ-Varianz-1.Rmd
