```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL

n <- sample(seq(25,50,5),1)
y <- meanint_data(n, c(2,12))
x <- meanint_data(n, c(36, 50))
z <- meanint_data(n, c(2,6))
yx <- cor_data(y, x, r=sample((5:9)/10, 1))
yz <- cor_data(y, z, r=sample((5:9)/10, 1))
#
x <- yx[,2]
z <- yz[,2]
y <- yx[,1]  
meanX <- mean(x)
meanY <- mean(y)
meanZ <- mean(z)
sumXY <- sum((x-meanX)*(y-meanY))
sumZY <- sum((z-meanZ)*(y-meanY))
sumY2 <- sum((y-meanY)^2)
sumX2 <- sum((x-meanX)^2)
sumZ2 <- sum((z-meanZ)^2)
#part (a)
R2xy <- round((sumXY^2)/(sumY2*sumX2),4)
R2zy <- round((sumZY^2)/(sumY2*sumZ2),4)
#part (b)
b_1 <- round(sumXY/sumX2,4)
a_1 <- meanY-b_1*meanX
b_2 <- round(sumZY/sumZ2,4)
a_2 <- meanY-b_2*meanZ
#part (d)
y1_hat <- round(a_1 + b_1*15, 4)
y2_hat <- round(a_2 + b_2*15, 4)
sc <- num_result(max(R2xy, R2zy), 3)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Eine Gruppe von Forschern möchte die Durchschnittsnotenpunkte von  `r n` Schülern in der Abiturprüfung (Variable $Y$, Notenpunkte von 0 bis 15) untersuchen. Sie wollen ermitteln, mit welcher der beiden Variablen, "Anzahl der Fehlstunden in der Oberstufe" ($X$) und "monatliches Einkommen der Eltern" ($Z$, in 1000 Euro), in einem einfachen linearen Regressionsmodell die Durchschnittsnotenpunkte zuverlässiger vorhergesagt werden kann. 

Die Daten lieferten folgende Kennzahlen:
$$
\begin{array}{l}\displaystyle
\sum_{i=1}^{ `r n`} ( x_{i} - \bar{x} )( y_i - \bar{y} ) =  `r sumXY`; \quad \quad \sum_{i=1}^{ `r n`} ( z_{i} - \bar{z} )( y_i - \bar{y} ) =  `r sumZY`; \\\\\displaystyle
\sum_{i=1}^{ `r n`} ( x_{i} - \bar{x} )^2 =  `r sumX2`; \quad \quad \sum_{i=1}^{ `r n`} ( z_{i} - \bar{z} )^2 =  `r sumZ2`; \quad \quad \sum_{i=1}^{ `r n`} ( y_i - \bar{y} )^2 =  `r sumY2`; \\\\
\bar{x} =  `r meanX`; \quad \quad \bar{z} =  `r meanZ`; \quad \quad \bar{y} =  `r meanY`;
\end{array}
$$
Runden Sie Ihre Ergebnisse auf vier Nachkommastellen!
Vergleichen Sie die Regressionsmodelle $\hat{y}_1 = a_1 + b_1 \cdot x$  (Anzahl der Fehlstunden) und $\hat{y}_2 = a_2 + b_2 \cdot z$ (Einkommen der Eltern) mit Hilfe eines Maßes, dass sie aus den gegebenen Größen errechnen können. 

Geben Sie den Wert der Maßzahl für das bessere Modell an.  `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

Gesucht ist das Bestimmtheitsmaß $R^2$:
\begin{align*}
R_1^2 &= r_{xy}^2 = \frac{\left( \sum_{i=1}^{ `r n`} ( x_{i} - \bar{x} )( y_i - \bar{y} ) \right)^2}{\sum_{i=1}^{ `r n`} ( y_i - \bar{y} )^2 \cdot \sum_{i=1}^{ `r n`} ( x_{i} - \bar{x} )^2} = \frac{\left(  `r sumXY` \right)^2}{ `r sumY2` \cdot  `r sumX2`} =  `r R2xy` \\
R_2^2 &= r_{xz}^2 = \frac{\left( \sum_{i=1}^{ `r n`} ( z_{i} - \bar{z} )( y_i - \bar{y} ) \right)^2}{\sum_{i=1}^{ `r n`} ( y_i - \bar{y} )^2 \cdot \sum_{i=1}^{ `r n`} ( z_{i} - \bar{z} )^2} = \frac{\left(  `r sumZY` \right)^2}{ `r sumY2` \cdot  `r sumZ2`} =  `r R2zy`
\end{align*}

Wir entscheiden uns für das Modell `r if(R2xy<R2zy) "zwei" else "eins"`.

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: lr_koef12_2a.Rmd
