<!--- Filename should be: topic_story_anwserformat.Rmd --->

```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
call <- exams2call()
### DATA GENERATION
alpha <- sample(c(0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2), 1)
n     <- sample(5:25, 1)
smean <- 200:400
ssig  <- 1:50
ski   <- sample(smean,1)
sigma <- sample(ssig,1)
a <- ski-sigma
b <- ski+sigma
X <- sample(seq(a,b,1),n,replace=TRUE)
#part a
xBar <- round(mean(X))
s2   <- var(X)
s2   <- round(s2)
s    <- round(sqrt(s2),2)
#part c
c    <- round(qt(1-alpha/2, n-1), 3) # n>30 not possible
v_u  <- xBar - c * sqrt(s2/n)
v_o  <- xBar + c * sqrt(s2/n)
dig  <- 1-floor(log10((c-qnorm(1-alpha/2))*sqrt(s2/n)))
sc   <- num_result(v_u, digits=dig, tolmult=1)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Der Pegelstand des Rheins schwankt im Verlauf des Jahres. Das Umweltdezernat von Köln hat seit einigen
Jahren den Eindruck, dass sich die Schwankungen aufgrund des Klimawandels verändert haben. 

Wenn die Stadt Köln nicht mehr so oft die Spundwände zum Hochwasserschutz aufbauen müsste, dann könnte sie viel Geld sparen. Dafür darf die Standardabweichung des Pegelstandes `r sigma` cm nicht überschreiten.

Es soll mittels einer statistischen Schätzung überprüft werden, ob sich eine Änderung ergeben hat. Nehmen Sie an, dass der Pegelstand des Rheins in Köln eine $N(\mu, \sigma)$-verteilte Zufallsvariable ist. Anhand von `r n` Messungen an der Hohenzollernbrücke haben sich folgende Daten ergeben:

$\bar{x} = `r xBar`$ und $s^2 =  `r s2`$

Bestimmen Sie die untere Grenze des Schätzintervalls für $\mu$ bei einem 
Konfidenzniveau $1 - \alpha = `r  1-alpha`$. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
=========
Da die Varianz von $X_i$ unbekannt ist verwenden wir das Schätzintervall mit der $t$-Verteilung und $n-1$ Freiheitsgraden.
\begin{align*}
\left[v_u ; v_o\right] &= \left[\bar{x} - t_{1-\frac{\alpha}{2};f} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}; \bar{x} + t_{1-\frac{\alpha}{2};f} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\right] \qquad \text{, mit } f=n-1 = `r n-1` \\
\left[v_u ; v_o\right] &= \left[`r xBar` - `r c` \cdot \sqrt{\frac{`r s2`}{`r n`}}; `r xBar` + `r c` \cdot \sqrt{\frac{`r s2`}{`r n`}}\right] \\
&= [`r v_u`;`r v_o`]\\
\end{align*}

<!--- Put here the solution text --->

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: `r knitr::current_input()`
