```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
sig  <- sample(seq(5, 10, by=0.1), 1)
sig2 <- sig^2
k    <- sample(1:3, 1, prob=c(0.25, 0.5, 0.25))
alpha  <- c(90, 95, 99)[k]
alpha2 <- c(0.95, 0.975, 0.995)[k]
quant  <- c(1.64, 1.96, 2.58)[k]
e2     <- sig^2*quant^2/(35:200)
lf   <- unique(round(2*sqrt(e2),2))
l   <- sample(lf, 1)
e   <- l/2
n   <- sig^2*quant^2/e^2
sc  <- int_result(ceiling(n))
slaenge <- round(c("Daemon Targaryen"=107, "Viserys Targaryen"=102, "John Snow"=108, "Ned Stark"=115, "Aegon I. Targaryen"=107, "Ser Brienne"=109,  "Joffrey Baratheon"=108, "Rob Stark"=101)/2.54,2)
mu  <- round(mean(slaenge), 2)
slaenge <- matrix(slaenge, ncol=1, dimnames = list(names(slaenge), "Schwertlänge (Zoll)"))
h   <- html_matrix_sk(slaenge, "Figur", fmt="%.2f")
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Für eine Studie über die durchschnittliche Länge von Valyrischen Schwertern soll eine Zufallsstichprobe aus den Schmiedewerken Westeros' erhoben werden. Es ist bekannt, dass die Länge der Schwerter normalverteilt mit $\mu=`r mu`$ Zoll und $\sigma=`r sig`$ Zoll ist.

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
cat(toHTMLorLatex(h))
```

Wie groß müssen Sie den Stichprobenumfang mindestens wählen, damit das Schätzintervall $[L_u; L_o]$ für $\mu$ ($1 - \alpha =`r alpha`\%$) maximal $`r l`$ Zoll lang wird?

Solution
========

\begin{align*}
n &\geq \frac{\sigma^2 \cdot z^2_{1 - \frac{\alpha}{2}}}{e^2}, \text{ wobei } \sigma^2 =  `r sig2`, \, z_{ `r alpha2`} =  `r quant`  \text{ und } e =  `r e`\\
n &\geq \frac { `r sig2` \cdot  `r quant`^2}{ `r e`^2} = `r n`\\
\Rightarrow \quad n &\geq  `r sc$x[1]`
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: ../../statistik_i_ii/AARnw/st_ki_10_1d.Rmd
