```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
ski   <- sample(seq(70,85,1),1)
sigma <- sample(seq(1,3,1),1)
a     <- ski-sigma
b     <- ski+sigma
X     <- sample(seq(a,b,0.1), 5, replace=TRUE)
#part a
xBar <- mean(X)
tab  <- matrix(X, ncol=1, dimnames=list(1:length(X), "$X_i$"))
htab <- html_matrix_sk(tab, "$i$", "%.1f")
s2   <- sum((X-xBar)^2)/(length(X)-1)
#part c
v_u <- xBar - 2.776 * sqrt(s2/5)
v_o <- xBar + 2.776 * sqrt(s2/5)
vou <- runif(1)<0.5
sc <- num_result(if(vou) v_o else v_u, 3)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Um perfekte Eigenschaften von Skiern zu garantieren, müssen diese an der schmalsten Stelle $`r ski`mm$ breit sein, wobei die Standardabweichung $`r sigma`mm$ nicht überschreiten darf. Es soll mittels einer statistischen Schätzung überprüft werden, ob diese Bedingungen eingehalten werden. Nehmen Sie an, dass die Breite des Skis eine $N(\mu; \sigma)$-verteilte Zufallsvariable ist. 

Anhand einer Stichprobe von 5 Skiern haben sich folgende Daten ergeben: 

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
cat(toHTMLorLatex(htab))
```

Bestimmen Sie die `r if(vou) "obere" else "untere"` Grenze des Schätzintervalles für $\mu$ bei einem Konfidenzniveau $1 - \alpha = 95\%$.  `r round_de(sc$digits)`.

Solution
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Da die Varianz von $X_{i}$ unbekannt ist, verwenden wir das Schätzintervall mit t-Verteilung und n-1 Freiheitsgraden.

\begin{align*}
\bar{x} &= `r lmean(X)` = `r xBar`\\
s^2 &= `r lvar(X)` = `r s2`\\
\left[v_u ; v_o\right] &= \left[\bar{x} - t_{1-\frac{\alpha}{2};f} \cdot \sqrt{s^2/n}; \bar{x} + t_{1-\frac{\alpha}{2};f} \cdot \sqrt{s^2/n}\right] \qquad \mbox{, mit } f=n-1=`r length(X)-1`\\
\left[v_u ; v_o\right] &= \left[ `r xBar` - 2.571 \cdot \sqrt{\frac{ `r s2`}{5}};  `r xBar` + 2.571 \cdot \sqrt{\frac{ `r s2`}{5}}\right]\\
&=[ `r v_u`; `r v_o`]\\
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: st_ki_8_1c.Rmd
