```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
abx <- sort(sample(1:20, 4))
a  <- abx[1]
x1 <- abx[2]
x2 <- abx[3]
b  <- abx[4]
fl <- punif(x1, a,b)
fr <- punif(x2, a,b)
sc <- num_result(punif(x1, a,b) +  1-punif(x2, a,b),4)
```

Question
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```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Eine stetige Zufallsvariable $X$ nehme nur Werte aus dem Intervall $[ `r a`,  `r b`]$ an. Die Verteilungsfunktion für diesen Bereich ist gegeben durch:
$$F(x) = \frac{x- `r a`}{ `r b-a`}, \quad\quad x \in [ `r a`, `r b`].$$
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert kleiner als  `r x1` oder größer als   `r x2` annimmt? `r round_de(sc$digits)`. 

Solution
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Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\{X <  `r x1`\}\cup\{X >  `r x2`\}$. Da die beiden einzelnen Ereignisse disjunkt sind und $X$ stetig ist, gilt:
\begin{align*}
P(\{X <  `r x1`\}\cup\{X >  `r x2`\}) &= P(X <  `r x1`) + P(X >  `r x2`) \\
&= P(X \leq  `r x1`)+ 1 - P(X \leq  `r x2`) \\
&= 1 + F( `r x1`)-F( `r x2`) \\
&= 1+ \frac{  `r x1`- `r a`}{ `r b-a`} - \frac{  `r x2`- `r a`}{ `r b-a`}\\
&= 1+ \frac{  `r x1`- `r x2`}{ `r b-a`} = 1 - \frac{ `r x2-x1`}{ `r b-a`}
=\frac{ `r b-a + x1-x2`}{ `r b-a`} =  `r sc$x[1]`.
\end{align*}


Meta-information
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extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: UZ-PRechnung-2.Rmd
