```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
PA <- 70
PB <- 20
PAF <- 30
PBF <- 15
PCF <- 15
PN <- sample(seq(20,50,1),1)
lsgPK  <-  (PA/100)*(PAF/100) + (PB/100)*(PBF/100) + (1-0.01*(PA+PB))*(PCF/100)
lsgPK2 <-  (PA/100)*(PAF/100-PN*PAF/10000) + (PB/100)*(PBF/100) + (1-0.01*(PA+PB))*(PCF/100)
sc     <- num_result(100*(1-lsgPK2/lsgPK),4)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Sie wollen eine neue Smartphone-App auf den Markt bringen, die für drei verschiedene Smartphone-Marken A, B und C vertrieben werden soll. Der Marktanteil der Marke A beträgt `r PA`%, der Marke B `r PB`% und der Marke C `r 100-PA-PB`%. Je nach Marke des Smartphone erwarten Sie Probleme mit ihrer App. Bei Marke A rechnen Sie damit, dass  `r PAF`% der Nutzer Ihren Support kontaktieren werden. Bei Marke B und C gehen Sie davon aus, dass bei  `r PBF`% der Nutzer ein Fehler auftritt und Ihr Support kontaktiert wird. 

In Ihrem Softwarebudget sind noch Mittel vorhanden, um die App zu verbessern. So können Sie für die Marke mit dem größten Marktanteil die Wahrscheinlichkeit, dass ein Nutzer den Support kontaktiert, um `r PN`% verringern. Um wie viel Prozent verringert sich dabei die totale Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Nutzer den Support anruft? `r round_de(sc$digits)`.

Verwenden Sie die folgenden Definitionen:

* A, B, C stehe für "Nutzer hat Smartphone der Marke A, B bzw. C"
* K steht für "Nutzer kontaktiert den Support"


Solution
========

Gegeben sind:

\begin{align*}
P(A) &=  `r PA/100`, && P(K\mid A) =  `r PAF/100`, \\
P(B) &=  `r PB/100`, && P(K\mid B) =  `r PBF/100`, \\
P(C) &=  `r 1-0.01*(PA+PB)`, && P(K\mid C) =  `r PCF/100`.
\end{align*}

Wir bestimmen zunächst $P(K)$. Wir benutzen den Satz von der Totalen Wahrscheinlichkeit:

\begin{align*}
P(K) &= P(K\mid A)P(A) + P(K\mid B)P(B) + P(K\mid C)P(C) \\
& =   `r PAF/100` \cdot  `r PA/100` + `r PBF/100`\cdot  `r PB/100`+ `r PCF/100`\cdot  `r 1-0.01*(PA+PB)` \\
& =    `r lsgPK`.
\end{align*}

Für die Marke A verringt sich nun $P(K\mid A)$ um  `r PN` Prozent. Wir erhalten ``neue'' Wahrscheinlichkeiten, die wir mit $P^{*}$ bezeichnen. Also:

\begin{align*}
P^{*}(K\mid A) &= P(K\mid A) -  `r PN/100`\cdot P(K\mid A) =  `r PAF/100`- `r PN/100`\cdot `r PAF/100` =  `r PAF/100-PN*PAF/10000`, \\
P^{*}(K) &= P^{*}(K\mid A)P(A) + P(K\mid B)P(B) + P(K\mid C)P(C) \\
& =   `r PAF/100-PN*PAF/10000` \cdot  `r PA/100` + `r PBF/100`\cdot  `r PB/100`+ `r PCF/100`\cdot  `r 1-0.01*(PA+PB)` \\
& =    `r lsgPK2`.
\end{align*}

Gesucht ist die prozentuelle Verringerung er Totalen Wahrscheinlichkeit, also $1-P^{*}(K)/P(K)$. Wir erhalten:

\begin{align*}
1-\frac{P^{*}(K)}{P(K)}=1-\frac{ `r lsgPK2`}{ `r lsgPK`}= `r sc$x/100`=`r sc$fx[1]`\%
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: WR-TotalP-2.Rmd
