```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
require(xtable)
werte <- c(-1,0,1)
f1    <- ddiscrete(runif(length(werte)), unit=20)
f2    <- ddiscrete(runif(length(werte)), unit=20)
k <- sample(seq(2,10,1),1)
#xtable
tab  <- rbind(f1, f2)
dimnames(tab) <- list(c("$P(X_1=x_i)$", "$P(X_2=x_i)$"), werte)
htab <- html_matrix_sk(tab, "$x_i$", fmt=rep("%.2f", ncol(tab)))
EX1 <- sum(werte*f1)
EX2 <- sum(werte*f2)
lsg <- (EX1+EX2)/k
sc  <- num_result(lsg, 4) 
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Zwei unabhängige diskrete Zufallsvariablen $X_1$ und $X_2$ haben folgende Verteilungen:

```{r xtable1, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(htab))
```

Betrachten Sie die Zufallsvariable $Y = \frac{X_1 + X_2}{ `r k`}$. Berechnen Sie den Erwartungswert von $Y$, wenn Sie wissen, dass $E(X_1) = `r EX1`$ und $E(X_2) = `r EX2`$. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

Der Erwartungswert der Summe zweier Zufallsvariablen $X$ und $Y$  entspricht der Summe der Erwartungswerte $E[X]$ und $E[Y]$: $$E[X+Y]=E[X]+E[Y].$$
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable $X$ multipliziert mit einer Konstante $a$ ist gleich die Konstante multipliziert mit dem Erwartungswert der Zufallsvariable: $$E[aX] = aE[X].$$
Und somit der Erwartungswert von $Y$:

\begin{align*}
E[Y] &= E[\frac{X_1 + X_2}{ `r k`}]\\
&= \frac{1}{ `r k`} E[X_1 + X_2]\\
&= \frac{1}{ `r k`} (E[X_1] + E[X_2])\\
&= \frac{ `r EX1`\, +\,  `r EX2`}{ `r k`}\\
&=  `r sc$x[1]`
\end{align*}


Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: BZ-linKombination-1.Rmd
