```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
grenzen_X   <- c(20, sort(sample(seq(25, 55, by=5), 2)), 60)
grenzen_Y   <- c(140, sort(sample(seq(145, 195, by=5), 2)), 200)
klassen_X   <- sprintf("%i-%i Jahre", grenzen_X[-length(grenzen_X)], grenzen_X[-1])
klassen_Y   <- sprintf("%i-%i cm", grenzen_Y[-length(grenzen_Y)], grenzen_Y[-1])
breiten_X   <- diff(grenzen_X)
klassemitte_X <- grenzen_X[-1]-breiten_X/2
breiten_Y   <- diff(grenzen_Y)
klassemitte_Y <- grenzen_Y[-1]-breiten_Y/2
f1          <- sort(ddiscrete(runif(length(klassemitte_X)), unit=10), decreasing=TRUE)
f2          <- sort(ddiscrete(runif(length(klassemitte_Y)), unit=10), decreasing=TRUE)
f           <- ddiscrete2(f1, f2, FUN=ord.spearman, target=sample((0:9)/10, 1))
n           <- sample_size_freq(seq(5,200,5), f)
tab         <- n*f
dimnames(tab) <- list(klassen_X, klassen_Y)
htab        <- html_matrix_sk(tab, "", fmt=rep("%.0f", ncol(tab)))
tab2        <- matrix(f1*n, nrow=1, dimnames=list("Hfk.", klassen_X))
htab2       <- html_matrix_sk(tab2, "Altersklassen", fmt=rep("%.0f", ncol(tab2)))
sfm         <- as_string(paste0(fmt(f1*n,0), "\\cdot", fmt(klassemitte_X, 1)), "+", last="+")
xbar        <- sum(f*klassemitte_X)     
xsd         <- sum(f*(klassemitte_X-xbar)^2)
fsd         <- as_string(paste0('(', klassemitte_X, '-', xbar, ')^2\\cdot', tab2), collapse=" + ", last=" + ")
sc          <- num_result(xsd, 2)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

`r n` Personen wurden nach ihrem Alter ($X$) und ihrer Körpergröße in cm ($Y$) befragt. Das Ergebnis ist in der folgenden Kontingenztabelle zusammengefasst:

```{r xtable1, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(htab))
```

Berechnen Sie die Varianz von $X$, wenn Sie von einem durchschnittlichen Alter von `r xbar` Jahren ausgehen. 

Solution
========

Die Randverteilung des Alters ergibt sich als

```{r xtable2, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(htab2))
```

\begin{align*}
s_x^2&= \frac{1}{n}\sum_{j=1}^k ((x_j^m-\bar{x})^2 \cdot h(x_j))\\
&= \frac{1}{`r n`}\cdot\left(`r fsd`\right)\\
&= `r sc$x[1]`
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: ../../statistik_i_ii/AARnw/US-Varianz-2.Rmd
