```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
werte <- c(0,1,2)
f1    <- ddiscrete(runif(length(werte)), unit=10)
f2    <- ddiscrete(runif(length(werte)), unit=10)
f     <- ddiscrete2(f1, f2, FUN=ord.spearman, target=sample((-9:9)/10, 1))
dimnames(f) <- list(sprintf("%i", werte), sprintf("%i", werte))
hf    <- html_matrix_sk(f, 'X/Y', fmt=rep("%.2f", ncol(f)))
hf1   <- html_matrix_sk(matrix(f1, nrow=1, dimnames=list("$P(X=x_i)$", werte)), '$x_i$', fmt=rep("%.1f", length(f1)))
hf2   <- html_matrix_sk(matrix(f2, nrow=1, dimnames=list("$P(Y=Y_j)$", werte)), '$y_j$', fmt=rep("%.1f", length(f2)))
#
EX    <- sum(f1*werte)
EY    <- sum(f2*werte)
cov   <- sum(outer(werte-EY, werte-EX)*f)
#loesung 1
lsg1  <- EX+EY
sex   <- as_string(paste0(werte, '\\cdot', f1), collapse="+", last="+")
sey   <- as_string(paste0(werte, '\\cdot', f2), collapse="+", last="+")
sc    <- num_result(lsg1, 4)
#loesung 2
Z     <- tapply(f, outer(werte, werte, FUN="+"), sum)
hZ    <- html_matrix_sk(matrix(Z, nrow=1, dimnames=list("$P(Z=z_i)$", names(Z))), "$z_i$", fmt=rep("%.4f", length(Z)))
EZ    <- sum(as.numeric(names(Z))*Z)
sez   <- as_string(paste0(names(Z), '\\cdot', fmt(Z)), collapse="+", last="+")
sc    <- num_result(lsg1, 4)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Markus Motorix ist kein gern gesehener Kunde im Porzellan- und Glasladen. Der Inhaber des Ladens hat eine Wahrscheinlichkeitsfunktion über den von Markus verursachten Schaden erstellt, wobei $X$ die Anzahl der zerstörten Artikel in der Glasabteilung und $Y$ die Anzahl der zerstörten Artikel in der Porzellanabteilung beschreibt. Die Kovarianz zwischen beiden Variablen betrage $`r cov`$.

```{r xtable1, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(hf))
```

Berechnen Sie den Erwartungswert des Gesamtschadens $Z=X+Y$. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========


* Lösungsweg 1 (Bestimmung der Verteilung von $Z$)

Die Verteilung von $Z$ ergibt sich als

```{r xtable2, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(hZ))
```

\begin{align*}
E[X+Y] &= E[Z] = \sum_{i=1}^k z_i \cdot P(X + Y = z_i)\sum_{i=1}^k z_i \cdot P(Z = z_i)\\
&=`r sez` = `r sc$x[1]`
\end{align*}

* Lösungsweg 2 (Randverteilungen und Erw.-werte $X$ und $Y$)


```{r xtable3, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(hf1))
cat(toHTMLorLatex(hf2))
```


\begin{align*}
E[X] &= \sum_{i=1}^k x_i \cdot f(x_i) =  `r sex` =  `r EX` \\
E[Y] &= \sum_{j=1}^k y_j \cdot f(y_j) =  `r sey` =  `r EY` \\
E[Z] &= E[X+Y] = E[X]+E[Y] =  `r EX` +  `r EY` =  `r EX+EY`
\end{align*}


Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: BZ-linKombination-3.Rmd
