```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
grenzen_X   <- c(0, sort(sample(seq(500, 2500, by=500), 2)), 3000)
grenzen_Y   <- c(500,sort(sample(seq(1000, 3500, by=500), 2)), 4000)
klassen_X   <- sprintf("%i-%i EUR", grenzen_X[-length(grenzen_X)], grenzen_X[-1])
klassen_Y   <- sprintf("%i-%i EUR", grenzen_Y[-length(grenzen_Y)], grenzen_Y[-1])
breiten_X   <- diff(grenzen_X)
klassemitte_X <- grenzen_X[-1]-breiten_X/2
breiten_Y   <- diff(grenzen_Y)
klassemitte_Y <- grenzen_Y[-1]-breiten_Y/2
f1          <- sort(ddiscrete(runif(length(klassemitte_X)), unit=10), decreasing=TRUE)
f2          <- sort(ddiscrete(runif(length(klassemitte_Y)), unit=10), decreasing=TRUE)
f           <- ddiscrete2(f1, f2, FUN=ord.spearman, target=sample((0:9)/10, 1))
n           <- sample_size_freq(seq(5,200,5), f)
tab         <- n*f
dimnames(tab) <- list(klassen_X, klassen_Y)
htab        <- html_matrix_sk(tab, "Wertpapierbesitz / Einkommen", fmt=rep("%.0f", ncol(tab)))
tab2        <- cbind(1:length(f2), f2*n, f2, cumsum(f2)) 
dimnames(tab2) <- list(klassen_Y, c("$j$", "$h_j$", "$f_j$", "$F_j$"))
htab2       <- html_matrix_sk(tab2, "Einkommen", fmt=c("%.0f", "%.0f", "%.4f", "%.4f")) 
sfm         <- as_string(paste0(fmt(f1*n,0), "\\cdot", fmt(klassemitte_X, 1)), "+", last="+")
sc          <- num_result(sum(f1*klassemitte_X), 0)
inc         <- sample(seq(600, 3900, by=100), 1)
i           <- findInterval(inc, vec = grenzen_Y, all.inside = TRUE)
F2          <- cumsum(c(0,f2))
sc          <- num_result(F2[i]+(inc-grenzen_Y[i])/breiten_Y[i]*f2[i], 4)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

\hyphenation{Haus-halten}
Bei einer Einkommens- und Verbraucherstichprobe wurden das monatliche Einkommen ($X$) und der Wertpapierbesitz ($Y$) von  `r n` privaten Haushalten erfasst (beides in EUR). Es ergab sich die folgende Verteilung: 

```{r xtable1, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(htab))
```

Wie viel Prozent der Haushalte haben ein Einkommen bis $`r inc`$ EUR? `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

Die Randverteilung ergibt sich als:

```{r xtable2, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(htab2))
```

`r inc` liegt in der Klasse j=`r i`  ($F_0=0$):

\begin{align*}
F(x) &= F_{j-1} + \frac{x-x_j^u}{x_j^o-x_j^u} f_j \\
F(`r inc`) &= `r F2[i]`+\frac{`r inc`-`r grenzen_Y[i]`}{`r grenzen_Y[i+1]`-`r grenzen_Y[i]`}\cdot`r f2[i]`= `r sc$x[1]`
\end{align*}


Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: US-Hfgkeiten-1.Rmd
