<!--- Filename should be: topic_story_anwserformat.Rmd --->

```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
call <- exams2call()
### DATA GENERATION
ssig <- 10:50
  sig  <- sample(ssig, 1)
  sig2 <- sig^2
  alpha  <- sample(c(0.99, 0.98, 0.95, 0.9, 0.8), 1)
  alpha2 <- 1-(1-alpha)/2
  quant  <- round(qnorm(alpha2), 2)
  n <- sample(40:100, 1)
  e <- round(sqrt(sig^2*quant^2/n))
  l <- 2*e
  n <- round(sig^2*quant^2/e^2,3)

N <- ceiling(n) 
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Bluthochdruck, gemessen in Millimeter Quecksilbersäule (mmHG), als Folge von Übergewicht ist ein häufiges Problem. 
Ein Arzt will einen neuen, billigeren Blutdrucksenker testen. Aus gesundheitlichen Gründen darf die Standardabweichung des systolischen Blutdrucks `r sig` mmHG nicht überschreiten.

Es soll mittels einer statistischen Schätzung überprüft werden, ob sich eine Änderung des systolischen Blutdrucks durch das Medikament ergeben hat. Nehmen Sie an, dass der systolische Blutdruck eine $N(\mu, \sigma)$-verteilte Zufallsvariable ist. Aus Erfahrung weiß man, dass die Standardabweichung garantiert kleiner oder gleich `r sig` mmHG ist. Wie groß müssen Sie den Stichprobenumfang mindestens wählen, damit das Schätzintervall $[v_u; v_o]$ für $\mu$ ($1 - \alpha = `r alpha`$) maximal `r l` mmHG lang wird? Beachten Sie, dass der Stichprobenumfang nur ganzzahlig sein kann.

Solution
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Da die Varianz von $X_i$ bekannt ist verwenden wir das Schätzintervall mit der Standardnormalverteilung.
\begin{align*}
n &\geq \frac{\sigma^2 \cdot z^2_{1 - \frac{\alpha}{2}}}{e^2}, \quad \text{ mit } \, \sigma^2 = `r sig2`, \, z_{`r alpha2`} = `r quant` \, \text{ und } \, e = `r e` \\
n &\geq \frac {`r sig2` \cdot `r quant`^2}{`r e`^2} = `r n`\\
\Rightarrow \quad n &\geq `r N` 
\end{align*}

<!--- Put here the solution text --->

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r round2(N)`
extol: 0.1
exname: `r if(exists("story")) story else knitr::current_input()`
