<!--- Filename should be: topic_story_anwserformat.Rmd --->

```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
call <- exams2call()
### DATA GENERATION
mean <- sample(25:50, 1)
ssig <- 10:50
sd   <- sample(ssig, 1)/10
  sig  <- sample(ssig, 1)/10
  sig2 <- sig^2
  alpha  <- sample(c(0.99, 0.98, 0.95, 0.9, 0.8), 1)
  alpha2 <- 1-(1-alpha)/2
  quant  <- round(qnorm(alpha2), 2)
  n <- sample(40:100, 1)
  e <- round(sqrt(sig^2*quant^2/n), 1)
  l <- 2*e
  n <- round(sig^2*quant^2/e^2,3)

N <- ceiling(n) 
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```
Das Berliner Luftgütemessnetz zeichnet Messdaten zur Luftqualität, darunter Kohlenstoffmonoxid, Ozon, Stickoxide und Feinstaub, auf. An den 17 in Berlin platzierten Messstationen wurde ein durchschnittlicher Feinstaubgehalt von $\bar{x} = `r mean`$ $\mu$g/m$^3$ mit einer Standardabweichung von $s=`r sd`$ $\mu$g/m$^3$ beobachtet. Es ist bekannt, dass der Feinstaubgehalt normalverteilt ist, wobei die Standardabweichung $\sigma=`r sig`$ $\mu$g/m$^3$ beträgt.

Um sicherzustellen, dass das Schätzintervall $[v_u; v_o]$ für den Mittelwert $\mu$ ($1 - \alpha = `r alpha`$) maximal `r l` $\mu$g/m$^3$ beträgt, muss die Anzahl der Messstationen ermittelt werden, die mindestens installiert werden müssen.

Solution
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Da die Varianz von $X_i$ bekannt ist verwenden wir das Schätzintervall mit der Standardnormalverteilung.
\begin{align*}
n &\geq \frac{\sigma^2 \cdot z^2_{1 - \frac{\alpha}{2}}}{e^2}, \quad \text{ mit } \, \sigma^2 = `r sig2`, \, z_{`r alpha2`} = `r quant` \, \text{ und } \, e = `r e` \\
n &\geq \frac {`r sig2` \cdot `r quant`^2}{`r e`^2} = `r n`\\
\Rightarrow \quad n &\geq `r N` 
\end{align*}

<!--- Put here the solution text --->

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r round2(N)`
extol: 0.1
exname: `r knitr::current_input()`
