```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
call <- exams2call()
### DATA GENERATION
pxy  <- matrix(ddiscrete(runif(6), unit=10), ncol=3)
gend <- colSums(pxy)
job  <- rowSums(pxy)
pxy  <- outer(job, gend)
n    <- 10
while (n<100) {
  hxy <- n*pxy
  if ((min(hxy)>=5) && (sum((round(hxy)-hxy)^2))<6e-7) break
  n <- n+10
}
repeat{
  contin      <- table(sample(1:2, prob=job, size=n, replace=TRUE), sample(1:3, prob=gend, size=n, replace=TRUE))
  contin[1,3] <- n*job[1]-contin[1,1]-contin[1,2]
  contin[2,]  <- n*gend-contin[1,]
  if (all(contin>=0)) break
}
contin_est  <- n*pxy
contin      <- round(contin)
contin_est  <- round(contin_est)
vsq         <- sum((contin-contin_est)^2/contin_est)
colnames(contin) = c("Männlich", "Weiblich", "Divers")
rownames(contin) = c("Akzeptiert", "Abgelehnt")
colnames(contin_est) = c("Männlich", "Weiblich", "Divers")
rownames(contin_est) = c("Akzeptiert", "Abgelehnt")
hxy <- html_matrix_sk(contin, "", rep("%.0f", ncol(contin)))
exy <- html_matrix_sk(contin_est, "", fmt=rep("%.0f", ncol(contin_est)))
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Sie sind Beauftragter für Gleichberechtigung in einem großen Unternehmen und wurden beauftragt, zu untersuchen ob strukturelle Diskriminierung bei der Vergabe neuer Stellen vorliegt. Ihnen liegen Zahlen vor zu der Anzahl vergebener Stellen und Geschlecht. 

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
cat(toHTMLorLatex(hxy))
```

Wählen Sie einen geeigneten Test und berechnen Sie die Teststatistik. Runden Sie Ihr Ergebnis auf drei Stellen.
<!--- Put here the exercise text --->

Solution
=========
Unter der Nullhypothese, dass die Variablen unabhängig sind, ist die nachfolgende Teststatistik Chi-Quadrat verteilt.
Gemäß der Formel lautet die Teststatistik:
\begin{align*}
V \quad &= \quad \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^3 \frac{(h_{ij} - \hat{h}_{ij})^2}{\hat{h}_{ij}} \\
\hat{h}_{ij} &= \quad \frac{h_{i\cdot} \cdot h_{\cdot j}}{n}
\end{align*}

Die erwarteten Häufigkeiten $\hat{h}_{ij}$ sind:

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
cat(toHTMLorLatex(exy))
```

Daraus ergibt sich ein Wert für die Teststatistik $V = `r round(vsq,3)`$. 

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r round2(vsq, 3)`
extol: 0.01
exname: `r if(exists("story")) story else knitr::current_input()`
