```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
n <- sample(seq(25,50,5),1)
y <- sample(2:12,n,replace=TRUE)
x <- sample(36:50,n,replace=TRUE)-3*y
meanX <- round(mean(x),0)
meanY <- round(mean(y),0)
sumX <- sum(x)
sumY <- sum(y)
sumXY <- sum((x-meanX)*(y-meanY))
sumX2 <- sum((x-meanX)^2)
sumY2 <- sum((y-meanY)^2)
sumXY <- sum((x-meanX)*(y-meanY))
#part a
strp <- num2str(meanX, meanY, sumX, sumY, sumXY, sumX2, sumY2, sumXY)
sc <- num_result(sumXY/(sqrt(sumX2*sumY2)), 4)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Betrachten Sie ein (einfaches) Regressionsmodell $y_i = b_0 + b_1 x_i + \hat{u}_i$, das die  üblichen Annahmen erfüllt.

Aus einer Stichprobe vom Umfang $n= `r n`$ gehen folgende Größen hervor:

\begin{align*}
\sum_{i=1}^{ `r n`} (x_i - \bar{x})(y-\bar{y}) &=  `r strp$sumXY`,\\
\sum_{i=1}^{ `r n`} (x_i -\bar{x})^2 &=  `r strp$sumX2`, \\
\sum_{i=1}^{ `r n`} (y_i -\bar{y})^2 &=  `r strp$sumY2`, \\
\bar{x}&= `r strp$meanX`, \\
\bar{y}&= `r strp$meanY`.
\end{align*}

Berechnen Sie den Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
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Es gilt für $r_{xy}$ ermitteln:
$$ r_{xy} =  \frac{ \sum_{i=1}^{ `r n`} (x_i - \bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{ `r n`} (x_i -\bar{x})^2 \sum_{i=1}^{ `r n`} (y_i -\bar{y})^2}} = \frac{ `r strp$sumXY`}{\sqrt{ `r strp$sumX2` \cdot  `r strp$sumY2`}}=   `r sc$x[1]`$$

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: lr_koef8_3a.Rmd
