```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
klassen_X <- c("gut", "schlecht")
klassen_Y <- c("1.0-1.7", "2.0-2.7", "3.0-3.7", "4.0 und 5.0")
fr <- ddiscrete(runif(length(klassen_X)))
fc <- ddiscrete(runif(length(klassen_Y)))
f  <- ddiscrete2(fr, fc, target=sample((0:10)/10, 1))
for (n in seq(5, 200, by=5)) {
  if (all_integer(f*n)) break
}
h   <- round(f*n, 0)
rownames(h) <- klassen_X
colnames(h) <- klassen_Y
n     <- sum(h)
tst   <- suppressWarnings(chisq.test(h))
hmat  <- html_matrix_sk(h, '', fmt=rep("%.0f", ncol(h)))
t     <- addmargins(tst$expected)
tmat  <- html_matrix_sk(t, '', fmt=rep("%.0f", ncol(t)))
pos   <- which(abs(h-tst$expected)>1e-6, arr.ind=TRUE)
lsg   <- ifelse(nrow(pos)>0,  paste0("Die Variablen sind nicht unabhängig, da die Bedingung für ", nrow(pos), " Zellen nicht erfüllt sind"), "Die Variablen sind unabhängig, da alle erwarteten und beobachteten Häufigkeiten übereinstimmen")
sc    <- num_result(nrow(pos), 0, tolmult=0.05)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Vor einer Klausur hat eine Studentin alle ihre Kommilitonen, welche die Klausur schreiben, nach ihrer Laune gefragt (Variable $Y$). Nach der Veröffentlichung der Ergebnisse hat sie dieselben Studenten nach ihrer Note gefragt (Variable $X$). Es ergab sich die folgende Häufigkeitstabelle: 

```{r, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(hmat))
```

\vskip 0.25cm
Prüfen Sie, ob $X$ und $Y$ voneinander unabhängig sind. Geben Sie an, für wie viele Zellen die Unabhängigkeit verletzt ist.

Solution
========

Die Tabelle der \underline{erwarteten} (absoluten) Häufigkeiten kann durch Multiplikation der Randverteilungen ermittelt werden: $e_{ij}=\frac{1}{n} h_{i\bullet}\cdot h_{\bullet j}$.

```{r, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(tmat))
```

$X$ und $Y$ heißen statistisch unabhängig, wenn gilt: 
$$h_{ij}=e_{ij}, \quad \textrm{für}  \quad i=1,2 \quad \textrm{und} \quad j=1,2,3,4$$
$\Longrightarrow$  `r lsg` (alternativ mit relativen Häufigkeiten)


Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: ../../statistik_i_ii/AARnw/BS-Unabhkeit-2.Rmd
