```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
pl     <- polylist(c(0,1), c(0,1,-1), c(1,-2,1))
data   <- pprobability(0:2, sample=6, coef=pl )
hp     <- c("p", "p(1-p)", "(1-p)^2")
h      <- matrix(math(hp), ncol=1, dimnames=list(0:2, "$P(X=x)$"))
htab   <- html_matrix_sk(h, '$x$', fmt="%s")
nsam   <- table(data$sample)
solution <- "\\begin{align*}
L(p)      &= p^{`r n[1]`} \\cdot \\left(p(1-p)\\right)^{`r n[2]`}\\cdot\\left((1-p)^2\\right)^{`r n[2]`}\\\\
log(L(p)) &= `r n[1]` \\log(p)+`r n[2]` \\log(p(1-p))+`r n[3]`\\log((1-p)^2)\\\\
          &= `r n2[1]`\\cdot\\log(p)+`r n2[2]`\\cdot\\log(1-p)\\\\
log(L(p))^\\prime &=\\frac{`r n2[1]`}{p}-\\frac{`r n2[2]`}{1-p}\\\\
0         &=\\frac{`r n2[1]`}{\\hat{p}}-\\frac{`r n2[2]`}{1-\\hat{p}}\\\\
          &= `r n2[1]`\\cdot(1-\\hat{p})-`r n2[2]`\\cdot\\hat{p}\\\\
          &= `r n3[1]``r lsgn(-n3[2])`\\hat{p}\\\\
\\hat{p}  &= \\frac{`r n3[1]`}{`r n3[2]`} = `r res`
\\end{align*}"
n   <- nsam
n2  <- c(n[1]+n[2], n[2]+2*n[3])
n3  <- c(n2[1], n2[1]+n2[2])
sc  <- num_result(data$ML$pest, digits=4)
```


Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Ein verliebter Student musste oft zu lange auf den Anruf seiner Freundin warten. In den Wartezeiten hat er sich naturgemäß seine Zeit damit vertrieben, ein Wahrscheinlichkeitsmodell für die Wartezeiten aufzustellen. Er erhielt folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Wartezeit $X$ (in Tagen):

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
cat(toHTMLorLatex(htab))
```

Konkret erhielt er dann folgende Stichprobe: `r as_obs(data$sample, last=" und ")` Tage.

Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzwert von $\hat{p}$ für diese Stichprobe. `r round_de(sc$digits)`.

Gehen Sie davon aus, dass die zweite Ableitung der Likelihood-/Log-Likelihood-Funktion nach $p$ an der Stelle von $\hat{p}$ negativ ist. 

Solution
========

`r template(solution, n=n, n2=n2, n3=n3, res=sc$x[1])`

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: st_ML_8_3b.Rmd
