<!--- Filename should be: topic_story_anwserformat.Rmd --->

```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
call <- exams2call()
### DATA GENERATION
library("magrittr")
ski <- sample(seq(70,85,1),1)
sigma <- sample(seq(1,3,1),1)
a <- ski-sigma
b <- ski+sigma
X <- sample(seq(a,b,0.1),6,replace=TRUE)
#part b
ski <- sample(seq(70,85,1),1)
sigma <- sample(seq(1,3,1),1)
a <- ski-sigma
b <- ski+sigma
X <- sample(seq(a,b,0.1),6,replace=TRUE)
#part a
xBar <- round(sum(X)/6,2)
s2 <- numeric(1)
for(i in 1:6){
  s2 <- s2 + 1/5*(X[i]-xBar)^2
}
s2 <- round(s2,2)
s <- round(sqrt(s2),2)
#part c
v_u <- round(xBar - 2.571 * sqrt(s2/6),4)
v_o <- round(xBar + 2.571 * sqrt(s2/6),4)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Die Firma XY war lange eine der führenden Marken im alpinen Skisport. Nun ist dem seit Längerem nicht mehr so und deshalb hat die Firma einen neuen Ski entwickelt, mit dem ihr die Rückkehr an die Spitze gelingen soll. Um die perfekten Eigenschaften der Skier garantieren zu können, müssen diese an der schmalsten Stelle `r ski`mm breit sein, wobei nur minimale Abweichungen erlaubt sind: Die Standardabweichung darf `r sigma`mm nicht überschreiten. 
Es soll mittels einer statistischen Schätzung überprüft werden, ob die alte Produktionsmaschine diesen Bedingungen standhält. Nehmen Sie an, dass die Breite des Skis eine $N(\mu, \sigma)$-verteilte Zufallsvariable ist.
Anhand einer Stichprobe von 6 Skiern haben sich folgende Daten für die schmalste Stelle ergeben:

$\bar{x} = `r xBar`$ und $s^2 =  `r s2`$

Bestimmen Sie die untere Grenze des Schätzintervalls für $\mu$ bei einem Konfidenzniveau $1 - \alpha = 0.95$. Runden Sie Ihr Ergebnis auf vier Stellen nach dem Komma!
<!--- Put here the exercise text --->

Solution
=========
Da die Varianz von $X_i$ unbekannt ist verwenden wir das Schätzintervall mit t-Verteilung und $n-1$ Freiheitsgraden.
\begin{align*}
\left[v_u ; v_o\right] &= \left[\bar{x} - t_{1-\frac{\alpha}{2};f} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}; \bar{x} + t_{1-\frac{\alpha}{2};f} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\right] \qquad \text{, mit } f=n-1 = 5 \\
\left[v_u ; v_o\right] &= \left[`r xBar` - 2.571 \cdot \sqrt{\frac{`r s2`}{6}}; `r xBar` + 2.571 \cdot \sqrt{\frac{`r s2`}{6}}\right] \\
& =[`r v_u`;`r v_o`]\\
\end{align*}

<!--- Put here the solution text --->

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r round2(v_u, 4)`
extol: 0.001
exname: `r if(exists("story")) story else knitr::current_input()`
