```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
n <- sample(seq(10,30,5),1)
x <- sample(20:30,n,replace=TRUE)
y <- x+sample(1:2,n,replace=TRUE)
sumXi <- sum(x)
sumYi <- sum(y)
sumYi2 <- sum(y^2)
sumXiYi <- sum(x*y)
sumXi2 <- sum(x^2)
#part (c)
R2 <- ((n*sumXiYi - sumXi*sumYi)^2)/((n*sumXi2 - (sumXi)^2)*(n*sumYi2 - (sumYi)^2))
#R2per <- R2*100
#R2perN <- 100-R2per
strp   <- num2str(sumXi, sumYi, sumXiYi, sumXi2, sumYi2, R2)
sc <- num_result(R2, 3)
```

Question
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```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Mit einer Stichprobe ($n= `r n`$) soll der lineare Zusammenhang zwischen
zwei ökonomischen Variablen $X$ und $Y$ untersucht werden. Die Stichprobe
ergibt folgende Kenngrößen:
$$ \sum_{i=1}^{ `r n`} x_i =  `r strp$sumXi`; \quad \sum_{i=1}^{ `r n`} x_i^2 =  `r strp$sumXi2`; \quad \sum_{i=1}^{ `r n`} y_i =  `r strp$sumYi`;$$
$$\quad \sum_{i=1}^{ `r n`} y_i^2 =  `r strp$sumYi2`; \quad \sum_{i=1}^{ `r n`} x_i y_i =  `r strp$sumXiYi`; $$
Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
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\begin{align*}
R^2 &= \dfrac{ \left(  `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i y_i - \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} y_i \right)^2 }{ \left[  `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i^2 - \left( \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} x_i \right) ^2 \right] \left[  `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} y_i^2 - \left( \sum\limits_{i=1}^{ `r n`} y_i \right) ^2 \right]} \\
&= \dfrac{ \left(  `r n` \cdot  `r strp$sumXiYi` -  `r strp$sumXi` \cdot  `r strp$sumYi` \right)^2 }{ \left[  `r n` \cdot  `r strp$sumXi2` - \left(  `r strp$sumXi` \right)^2 \right] \left[  `r n` \cdot  `r strp$sumYi2` - \left(  `r strp$sumYi` \right)^2 \right]} =  `r strp$R2` 
\end{align*}

Meta-information
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extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: lr_koef10_4b.Rmd
