```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
repeat{
  n   <- sample(c(4,5,8,10),1)
  lmr <- lmr_data(c(1,3), c(2,8), n=n, r=sample(seq(0.1, 0.9, by=0.05), 1))
  x   <- lmr$x
  y   <- lmr$y
  sumY   <- signif(sum(y), 4)
  sumX   <- signif(sum(x), 4)
  sumX2  <- signif(sum(x^2), 4)
  sumY2  <- signif(sum(y^2), 4)
  sumXY  <- signif(sum(x*y), 4)
  b_0    <- (sumY*sumX2-sumX*sumXY)/(n*sumX2-sumX^2)
  b_1    <- (n*sumXY-sumX*sumY)/(n*sumX2-sumX^2)
  if((b_1>0) && (all(is_terminal(c(sumX, sumY, sumX2, sumY2, sumXY))))) break
}
strp   <- num2str(sumX, sumY, sumXY, sumX2, sumY2, b_0, b_1)
#part (a)
b01 <- runif(1)<0.5
sc <- num_result(if (b01) b_0 else b_1)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Ein Autohersteller hat Daten über Merkmale der von ihm produzierten  `r n` Automodelle
erhoben: $Y$ Treibstoffverbrauch auf $100$ km, $X$ Motorvolumen in Liter.
Aus den Daten wurden folgende Kennzahlen berechnet:

\begin{align*}
\sum_{i=1}^n x_i &=  `r strp$sumX`, \\
\sum_{i=1}^n y_i &=  `r strp$sumY`, \\
\sum_{i=1}^n x_i^2 &=  `r strp$sumX2`, \\
\sum_{i=1}^n y_i^2 &=  `r strp$sumY2`, \\
\sum_{i=1}^n x_i y_i &=  `r strp$sumXY`
\end{align*}

Bestimmen Sie für das Modell $Y=b_0+b_1 \cdot X$ (Motorvolumen) den Koeffizienten
`r if(b01) "$b_0$" else "$b_1$"`.  `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========


\begin{align*}
b_1 &= \frac{n\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i\cdot y_i - \left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)\cdot \left(\sum_{i=1}^{n}y_i\right)}{n\cdot \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - \left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2} \\
&= \frac{`r n`\cdot `r strp$sumXY` - `r strp$sumX` \cdot `r sumY`}{`r n`\cdot `r strp$sumX2` - `r strp$sumX`^2} = `r strp$b_1`\\
b_0 &= \frac{\sum_{i=1}^n  y_{i}\cdot  \sum_{i=1}^n x_{i} ^{2}- \sum_{i=1}^n x_{i} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}\cdot y_{i}}{n \cdot \sum_{i=1}^n x_{i} ^{2}- \left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2}\\
&=\frac{`r strp$sumY`\cdot  `r strp$sumX2`- `r strp$sumX` \cdot `r strp$sumXY`}{`r n`\cdot `r strp$sumX2` - `r strp$sumX`^2} = `r strp$b_0`
\end{align*}


Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: lr_koef8_4b.Rmd
