```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
instruction <- NULL
library("exams.forge")
kingdom <- c("Der Norden", "Die Flusslande", "Das Grüne Tal", "Die Westlande",  "Die Sturmlande", "Die Weite", "Dorne")
p       <- sort(100*sample(seq(0.01, 0.4, by=0.01), 7, replace = TRUE), decreasing=TRUE)
p       <- matrix(p, ncol=1, dimnames=list(kingdom, "Unterstützung (in \\%)"))
h       <- html_matrix_sk(p, "Königreich", fmt="%.0f")
k      <- sample(1:3, 1, prob=c(0.25, 0.5, 0.25))
alpha  <- c(90, 95, 99)[k]
alpha2 <- c(0.95, 0.975, 0.995)[k]
quant  <- c(1.64, 1.96, 2.58)[k]
l      <- sample(seq(0.5, 5, by=0.1), 1)
e      <- l/200
n      <- quant^2/(4*e^2)
sc     <- int_result(ceiling(n))
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

In Westeros wird untersucht, welcher Anteil der Bewohner der sieben Königreiche die Nachtwache unterstützen würde. In den sieben Königreichen wurde eine Zufallsstichprobe zu erhoben um den Anteil der Unterstützer zu erfassen:

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
cat(toHTMLorLatex(h))
```

Wie groß muss der Stichprobenumfang mindestens sein, damit das Schätzintervall $[p_u; p_o]$ für den wahren Anteil der Unterstützer ($1 - \alpha =`r alpha`\%$) maximal $`r l`$ Prozentpunkte Breite hat?

Gehen Sie davon aus, dass die Normalverteilungsapproximation gilt.

Solution
========

\begin{align*}
n &\geq \frac{z^2_{1 - \frac{\alpha}{2}}}{4\cdot e^2} \\
n &\geq \frac {`r quant`^2}{4\cdot `r e`^2} = `r n`\\
\Rightarrow \quad n &\geq  `r sc$x[1]`
\end{align*}

Die Normalverteilungsapproximation gilt, wenn $n\cdot p \cdot (1-p) \geq 9$:

$\begin{array}{ll}
p=`r min(p)` \% & `r fcvt(n*min(p/100)*(1-min(p/100)))` \geq 9 \\
p=`r max(p)` \% & `r fcvt(n*max(p/100)*(1-max(p/100)))` \geq 9.
\end{array}$

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: ../../statistik_i_ii/AARnw/st_ki_10_1d.Rmd
