<!--- Filename should be: topic_story_anwserformat.Rmd --->

```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
call <- exams2call()
### DATA GENERATION
library("magrittr")
n  <- sample(4:7, 1)
repeat {
  # create data set(s)  and additional information
  # break only if all conditions are fulfilled
  if (TRUE) break
}
## DATA PRESENTATION
# create here all text representation for the exercises
options(scipen=999)
#points
points4 <- 1
#Variables
n <- sample(seq(25,50,5),1)
x <- sample(20:40,n,replace=TRUE)
y <- x-sample(5:15,n,replace=TRUE)
sumXi <- sum(x)
sumYi <- sum(y) 
sumYi2 <- sum(y^2) 
sumXiYi <- sum(x*y) 
sumXi2 <- sum(x^2)
#part (a)
b_0 <- round((sumYi*sumXi2 - sumXi*sumXiYi)/(n*sumXi2 - sumXi^2),4)
b_1 <- round((n*sumXiYi - sumXi*sumYi)/(n*sumXi2 - sumXi^2),4)
#part (b)
R2 <- round(((n*sumXiYi - sumXi*sumYi)^2)/((n*sumXi2 - (sumXi)^2)*(n*sumYi2 - (sumYi)^2)),4)
R2per <- R2*100
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Als Aktuar einer Versicherungsfirma untersuchen Sie den Zusammenhang zwischen der Summe der Versicherungsbeiträge und der Summe der Auszahlungen der `r n` größten Kunden über die letzten 30 Jahre. Anhand von folgenden Summen (in Mio. Euro) sollen Sie eine lineare Regression durchführen und die Summe der Auszahlungen (Y) durch die Summe der Beiträge (X) erklären.

\begin{align*}
  \sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i & =  `r sumXi` & \sum\limits_{i=1}^{`r n`} y_i^2 & = `r sumYi2` \\
  \sum\limits_{i=1}^{`r n`} y_i & =  `r sumYi` & \sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i y_i & = `r sumXiYi` \\
	\sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i^2 & =  `r sumXi2` 
\end{align*}

Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß. Runden Sie Ihr Ergebnis auf 4 Nachkommastellen.

Solution
=========

\begin{align*}
R^2 &=& \frac{ \left( `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i y_i - \sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i \cdot \sum\limits_{i=1}^{`r n`} y_i \right)^2 }{ \left[ `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i^2 - \left( \sum\limits_{i=1}^{`r n`} x_i \right) ^2 \right] \left[ `r n` \cdot \sum\limits_{i=1}^{`r n`} y_i^2 - \left( \sum\limits_{i=1}^{`r n`} y_i \right) ^2 \right]} \\
			&=& \frac{ \left( `r n` \cdot `r sumXiYi` - `r sumXi` \cdot `r sumYi` \right)^2 }{ \left[ `r n`\cdot `r sumXi2` - \left( `r sumXi` \right)^2 \right] \left[ `r n` \cdot `r sumYi2` - \left( `r sumYi` \right)^2 \right]} = `r R2` 
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r round2(R2,4)`
extol: 0.0005
exname: `r if(exists("story")) story else knitr::current_input()`
