```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
n     <- sample(c(50,100,200),1)
y_bar <- sample(seq(2000,3000),1 )
sumXi <- sample(seq(1000,2000),1)*n
x_bar <- sumXi/n
m     <- sample(seq(200,400),1)*n^2
lsg   <- m-(x_bar*y_bar)
strp  <- num2str(y_bar, sumXi, x_bar, m, lsg, n)
sc    <- num_result(lsg, digits=0)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Bei einer Verbraucherstichprobe wurden das monatliche Einkommen $X$ und der Wertpapierbesitz $Y$ von  `r strp$n` privaten Haushalten erfasst (jeweils in EUR und in drei Teilintervalle klassiert). Der durchschnittliche Wertpapierbesitz liegt bei $`r strp$y_bar`$ EUR und das Gesamteinkommen der Haushalte beträgt $`r strp$sumXi`$ EUR. Berechnen Sie die empirische Kovarianz zwischen dem Einkommen und dem Wertpapierbesitz, wenn Sie wissen, dass
$$\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} x_iy_jf_{ij} =  `r strp$m`$$
ist.  `r round_de(sc$digits)`.

Solution
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\begin{align*}
\mbox{Gegeben: } \bar{y} &=  `r strp$y_bar` \\
\mbox{und: }\sum_{i=1}^{3} x_i^m \cdot h(x_i) &=   `r strp$sumXi` \\
\mbox{sowie: }n &=  `r n`\\
\Rightarrow \bar{x} &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{3} x_i^m \cdot h(x_i) =  `r strp$x_bar`\\
\\
\Rightarrow s_{xy} &= \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} x_i y_j f_{ij} - \bar{x} \cdot \bar{y} \\
s_{xy} &=  `r strp$m` -  `r strp$x_bar` \cdot  `r strp$y_bar` =  `r strp$lsg`
\end{align*}

Meta-information
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extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: BS-Kovarianz-1.Rmd
