```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
thisyear <- format(Sys.Date(), "%Y")
breaks   <- seq(65, 100, by=5)
repeat {
  grenzen  <- histbreaks(breaks, 5) 
  breiten  <- diff(grenzen)
  mitten   <- grenzen[-1]-breiten/2
  klassen  <- sprintf("%i-%i", grenzen[-length(grenzen)], grenzen[-1])
  wert     <- sample(setdiff(breaks, grenzen), 1)
  f        <- ddiscrete(runif(length(klassen)))  
  n        <- sample_size_freq(seq(10,200, by=5), f)
  fk       <- f/breiten
  if ((which.max(f)!=which.max(fk)) && unique_max(fk)) break
}
tab      <- cbind(f, cumsum(f), fk)
dimnames(tab) <- list(klassen, c("$f(x_j)$", "$F(x_j^o)$", "$f_K(x_j)$"))
htab     <- html_matrix_sk(tab, "Altersklassen", fmt=c("%.2f", "%.2f", "%.4f"))
grob     <- (runif(1)<0.4)
mklasse  <- which.max(fk)
fkc0     <- c(0, fk, 0)
gmodus   <- mitten[mklasse]
fmodus   <- grenzen[mklasse]+(fkc0[mklasse+1]-fkc0[mklasse])/(2*fkc0[mklasse+1]-fkc0[mklasse]-fkc0[mklasse+2])*breiten[mklasse]
sc       <- num_result(if(grob) gmodus else fmodus, 2)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Im Berliner Seniorenheim ``Residenz am Weinberg'' wurde im Januar  `r thisyear` eine Befragung unter den  `r n` Bewohnern durchgeführt. Für das erhobene Merkmal Alter ergab sich dabei folgende Häufigkeitsverteilung:

```{r xtable1, echo = FALSE, results = "asis"}
cat(toHTMLorLatex(htab))
```

Berechnen Sie den `r if(grob) "groben" else "feinen"` Modus der Variable Alter. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

* Modalklasse (Klasse mit der höchsten Häufigkeitsdichte) $j=`r mklasse`$
* Grober Modus (Klassenmitte der Modalklasse) $x_D=`r gmodus`$
* Feiner Modus

\begin{align*}
x_D &= x_{`r mklasse`}^u + \frac{f_K(x_{`r mklasse`})-f_K(x_{`r mklasse-1`})}{2\cdot f_K(x_{`r mklasse`})-f_K(x_{`r mklasse-1`})-f_K(x_{`r mklasse+1`})}\cdot(x_{`r mklasse`}^o-x_{`r mklasse`}^u)\\
&=`r grenzen[mklasse]`+\frac{`r fkc0[mklasse+1]`-`r fkc0[mklasse]`}{2\cdot`r fkc0[mklasse+1]`-`r fkc0[mklasse]`-`r fkc0[mklasse+2]`}\cdot `r breiten[mklasse]`
&= `r fmodus`
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: S-Modus-1.Rmd
