```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
repeat {
  ab <- sample(-10:10, 2)
  b  <- ab[2]
  a  <- ab[1]
  if (b-a>2) break
}
d  <- b-a
d3 <- d*3
ex <- (a+b)/2
sc <- num_result((b-a)^2/12, 4)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```

Die stetige Zufallsvariable $X$ ist auf dem Intervall $[ `r a`,  `r b`]$ gleichverteilt.
Die Dichtefunktion für $X$ und der Erwartungswert von $X$ sind damit gegeben durch
\begin{align*}
f(x)&=
\begin{cases}
\frac{1}{ `r d`} & \textrm{für }    `r a` \leq x \leq  `r b` \\
0 & \textrm{sonst}
\end{cases}  \textrm{und }\\
E(X) &=  `r ex`.
\end{align*}
Berechnen Sie die Varianz von $X$. `r round_de(sc$digits)`.

Solution
========

Allgemein:
\begin{align*}
\textrm{Var}(X) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \cdot f(x) \ dx - (E(X))^2 \\
&= \int_{ `r a`}^{ `r b`} x^2 \cdot \frac{1}{ `r d`} \ dx -  `r ex^2` \\
&= \left[\frac{1}{ `r d3`}x^3\right]_{ `r a`}^{ `r b`} -  `r ex^2` \\
&= \frac{1}{ `r d3`} `r lbr(b)`^3 - \frac{1}{ `r d3`} `r lbr(a)`^3 -  `r ex^2` \\
&= `r sc$x[1]`.
\end{align*}

Für Gleichverteilungen im Intervall [$a, b$]: 
$$ \textrm{Var}(X) = \frac{ (b - a)^2 }{12} = \frac{ ( `r lbr(b)` -  `r lbr(a)`)^2 }{12} =  `r sc$x[1]`. $$

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: UZ-GVerteilung-4.Rmd
