```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
pKprz <- sample(seq(30, 60, 5), 1)
pGnKprz <- sample(seq(12, 28, 4), 1)
pK <- pKprz * 0.01
pnK <- 1-pK
pGnK <- pGnKprz * 0.01
pG <-  pnK * pGnK
sc <- num_result(pG, 4)
```

Question
========

```{r, error=TRUE, child=instruction}
```
 
Eine Studie über Startup-Unternehmen hatte gezeigt, dass neue Startups mit einer Wahrscheinlichkeit von `r pKprz`% schon innerhalb des ersten Jahres wieder in den Konkurs gehen. Von den übrig bleibenden Startups erwirtschaften `r pGnKprz`% nach spätestens 5 Jahren einen Gewinn.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein neu gegründetes Startup nach 5 Jahren Gewinn erwirtschaftet? `r round_de(sc$digits)`.

Verwenden Sie die folgenden Definitionen:

* K: "ein Startup geht im ersten Jahr in den Konkurs"
* G: "ein Startup erwirtschaftet nach 5 Jahren Gewinn"

Solution
========

Gegeben sind:
\begin{align*}
P(K)&= `r pK` \implies P(\bar{K})= `r pnK` \\
P(G|\bar{K})&= `r pGnK`
\end{align*}

Gesucht ist $P(G) = P(G \cap \bar{K})$. Aus dem Multiplikationssatz folgt:

\begin{align*}
P(\bar{K} \cap G) &= P(\bar{K}) \cdot P(G|\bar{K}) \\
&=  `r pnK` \cdot  `r pGnK` =  `r pG`
\end{align*}

Meta-information
================
extype: num
exsolution: `r sc$fx[1]`
extol: `r sc$tolerance`
exname: WR-Msatz-2.Rmd
